2021학년도 서울대학교 대학 신입학생 수시모집 일반전형 면접 및 구술고사 [수학] 자연과학대학 수리과학부, 통계학과 | 사범대학 수학교육과

문제 1. 음이 아닌 정수들의 집합을 \(\displaystyle X \) 라고 하고, 음이 아닌 실수들의 집합을 \(\displaystyle Y \)라고 하자. 두 함수 \(\displaystyle f :X\rightarrow Y \)와 \(\displaystyle g :Y \rightarrow X \)에 대해 아래 조건을 생각하자.

(조건 1) \(\displaystyle n \in X,~y \in Y\) 에 대하여 \(\displaystyle f(n) \leq y \Longleftrightarrow n \leq g(y)\)이다.

 

1-1. 함수 \(\displaystyle f :X\rightarrow Y \), \(\displaystyle g :Y \rightarrow X \)가 (조건 1)을 만족할 때, 모든 \(\displaystyle n \in X\)에 대하여 \(\displaystyle n \leq (g \circ f)(n)\)이 성립함을 보이시오.

 

1-2. 양수 \(\displaystyle k\)에 대해 \(\displaystyle f(n)=n^k \)이라고 할 때, (조건 1)과 다음 (조건 2)를 만족하는 함수 \(\displaystyle g :Y \rightarrow X \)의 예를 찾으시오.

(조건 2) \(\displaystyle y_1 \leq y_2 \) 이면 \(\displaystyle g( y_1) \leq g(y_2) \)이다.

 

1-3. 문제 1-2에서 찾은 함수 \(\displaystyle g :Y \rightarrow X \)가 단 하나 존재함을 보이시오.

 

 

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문제 2. 자연수 \(\displaystyle n\) 에 대하여 다항식 \(\displaystyle P_n (x)\)를 다음과 같이 정의하자.

\(\displaystyle P_n (x)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]} (-1)^k {}_n \mathrm{C}_{2k+1} x^k \)

(단, \(\displaystyle \left[ \frac{n-1}{2}\right]\)은 \(\displaystyle \frac{n-1}{2}\)을 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)

 

2-1. \(\displaystyle P_1 (x)\)와 \(\displaystyle P_2 (x)\) 를 구하시오.

 

2-2. 아래 조건을 만족하는 다항식 \(\displaystyle A(x)\)와 \(\displaystyle B (x)\)를 구하시오.

(조건 1) 모든 자연수 \(\displaystyle n\)에 대하여 \(\displaystyle  P_n (x)=A(x)P_{n+1}(x)+B(x) P_n (x)\)이다.

 

2-3. \(\displaystyle  \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{P_{n+1}(x)}{P_{n}(x) } \) (단, \(\displaystyle x \leq 0\)) 가 존재할 때, 그 극한값을 구하시오.