행렬과 벡터 미적분학
행렬: 수나 문자를 직사각형 형태로 배열한 것
크기가 m$\times$n인 행렬: $\begin{pmatrix}a_{1,1} & \cdots&a_{1,n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}\end{pmatrix}$
정사각행렬(정방 행렬): m$\times$n의 행렬에서 $m=n$인 행렬
대각 성분: 행렬의 성분 $a_{i,j}$에서 $i=j$인 성분
대각 행렬: 대각 성분 제외 모든 성분이 0인 정사각행렬
단위 행렬(항등 행렬): 대각 행렬 중 대각 성분이 1인 행렬(Identity matrix)
$I_n$= $\begin{pmatrix}1 & \cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&1\end{pmatrix}$
전치 행렬: 행과 열을 교환하여 얻는 행렬
$A$= $\begin{pmatrix}a_{1,1} & \cdots&a_{1,n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}\end{pmatrix}$ 일때
$A^T$= $\begin{pmatrix}a_{1,1} & \cdots&a_{m,1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1,n}&\cdots&a_{m,n}\end{pmatrix}$
*행렬 연산
$A$=$\begin{pmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1\end{pmatrix}$, $B$= $\begin{pmatrix}a_2&b_2\\c_2&d_2\end{pmatrix}$
1. 덧셈: $A+B$= $\begin{pmatrix}a_1+a_2&b_1+b_2\\c_1+c_2&d_1+d_2\end{pmatrix}$
2. 뺄셈: 덧셈과 동일
3. 스칼라배: $kA$= $\begin{pmatrix}ka_1&kb_1\\kc_1&kd_1\end{pmatrix}$
4. 행렬의 곱셈
만족시킬 조건: 앞 행렬의 열의 수와 뒷 행렬의 행의 수가 같아야 함
A: m$\times$n 행렬, B: n$\times$r 행렬
C=A$\times$B: m$\times$r 행렬
$C_{ij}$=$\sum_{k=1} ^n a_{ik}b_{kj}$
*행렬식
$A$=$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$=$ad-bc$
$\left | A \right |$=$det(A)$=$ad-bc$
$determinant$의 유래: 연립 방정식
$ax+by=p$, $cx+dy=q$를 행렬로 표현하면
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$
연립 방정식의 해가 없을 조건이 $ad-bc=0$일 때라서 이것이 determinant가 됨!
*$ad-bc=0$이라면 곱셈에 대한 역원(역행렬)이 존재하지 않음!
$A^{-1}$=$1\over {ad-bc}$ $\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$이기 때문
벡터 미적분학
#벡터 함수
$v(t)$: 벡터 함수
$v^\prime$(t)=$\lim_{n \to \ \vartriangle t}$ $v(t+\vartriangle t)-v(t)\over \vartriangle t$
$v(t)=(v_1, v_2, v_3)$=$v_1\hat{i}$+$v_2\hat{j}$+$v_3\hat{k}$
$(t_1,t_m)$에서 미분 가능할 때
$\partial{v}\over\partial{t_k}$= $\partial{v_1}\over\partial{t_k}$$\hat{i}$+ $\partial{v_2}\over\partial{t_k}$$\hat{j}$+ $\partial{v_3}\over\partial{t_k}$$\hat{k}$
#접선(tangent)
임의의 곡선 $C$: $r(t)$
$r^\prime$(t)= $\lim_{\vartriangle t \to 0}$ $r(t+\vartriangle t)-r(t)\over \vartriangle t$
$\Rightarrow$ 단위 접선 벡터 $u$=$r^\prime \over\left\vert r^\prime \right\vert$
#곡선의 길이
$r^\prime$=$dr\over dt$=$dx\over dt$$\hat{i}$+$dy\over dt$$\hat{j}$+$dz\over dt$$\hat{k}$
$r^\prime$$\cdot$$r^\prime$=${({dx\over dt})}^2$+ ${({dy\over dt})}^2$+ ${({dz\over dt})}^2$
곡선의 길이: $\Longrightarrow$ $\int_{a}^{b} \sqrt{r'\cdot r'}\, dt$
#곡률(curvature)
$\varkappa$$(s)$=$\left\vert u'(s) \right\vert$
#비틀림(torsion)
$b$=$u$$\times$ $u'\over \varkappa$(나눈 이유: 단위 벡터로 바꾸기 위함)
$b$=$u\times p$ ($\because$ $p$=$u'\over \varkappa$)(b: 종법선 벡터, p: 주법선)$\longrightarrow$ $b \perp u$
$b \cdot u$=$0$, $b \cdot u'$=$0$
${(b \cdot u)}^\prime$=$b' \cdot u$+$b \cdot u'$
$b' \cdot u$=$0$ $\Longrightarrow$ u와b' 또한 수직
$b'=-\tau \cdot p$
$b' \cdot p$=$- \tau \cdot (p \cdot p)$
$\tau$=$-b' \cdot p$
Exponential 18기 이주호 19기 유창재