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울산과학고등학교 수학 학술 동아리 Exponential

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  • Zeta Function 이 글은 수학 역사를 따라 진행된다. 초등적인 Zeta function의 여러 성질을 살펴보고, 그 이후로는 Bernhard Riemann의 논문 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"을 따라갈 것이다. 이 논문에 사용된 표기는 현대 수학과 다른 점이 몇몇 있지만, 이 글에서는 논문에서 사용한 표기를 따를 것이다. 배경지식 : exp-onential.tistory.com/8 exp-onential.tistory.com/16 exp-onential.tistory.com/27 exp-onential.tistory.com/46 exp-onential.tistory.com/55 Index I. Zeta function 1.1. 정의 1.2. Euler p.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 6. 3.
  • 베르누이 수와 리만 제타 함수 Def. Bernoulli numbers 베르누이 수는 다음과 같이 정의된다. $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n\ge 0} B_n\frac{x^n}{n!}$$ Some Bernoulli numbers 베르누이 수의 정의와 $e^x$의 테일러 급수를 이용하여 $$\left( \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!} \right) \left( e^x-1 \right)= \left( \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!} \right) \left( \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!} \right) = x$$이다. 즉, $$\left( \frac{B_0}{0!} x^0+ \frac{B_1}{1!} x^1 + \frac{B_2}{2!} .. 공감수 2 댓글수 1 2023. 5. 16.
  • 리만 제타 함수 $\mathrm{I}$.  Reiman Zeta Function1. Definition리만 제타 함수는 복소수 $s$에 대하여 다음과 같이 정의된다.$$\zeta(s)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}$$ 2. Euler product오일러는 $$\zeta(s)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}=\prod_ {p} \frac{1} {1-p^{-s}}$$임을 증명하였다. 이때 $\prod_p$의 의미는 소수 $p$에 대하여 연산을 실행한다는 의미이다.증명 : $\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$에서 $\frac{1} {2^s}\zeta(s)=\frac{1} {2^s}+\frac{1} .. 공감수 11 댓글수 1 2023. 3. 16.
  • 펠 방정식 펠 방정식 양의 정수 $d$, $N$에 대하여, $x$, $y$에 대한 방정식 $$x^2-dy^2=N$$을 펠 방정식이라고 한다. 펠 방정식의 해법에는 연분수의 개념이 필수로 필요하다. 이제, $d$와 $N$의 조건에 따른 해법들을 알아보자. 먼저, $d$가 완전제곱수가 아니고 $N=\pm1$일 때는 다음 정리를 이용하여 해를 구할 수 있다. 정리 $d$가 완전제곱수가 아닌 양의 정수이고 $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 제 $n$ 근사 분수를 $\frac{h_n}{k_n}$라 하자. 이때, $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 순환마디의 길이를 $r$이라 하면, 자연수 $i$에 대하여 $$h_{ir-1}^2-dk_{ir-1}^2=(-1)^{ir}$$이 성립한다. 증명 자연수 $i$에 대하여 무리수 $\.. 공감수 1 댓글수 0 2022. 11. 17.
  • n=3일 때 페르마의 마지막 정리 페르마의 마지막 정리 (Fermat's Last Theorm, FLT) $n$이 $3$ 이상의 정수일 때 방정식 $$x^n+y^n=z^n$$을 만족하는 자명하지 않은 정수해 쌍 $(x, y, z)$은 존재하지 않는다. $n=3$일 때 오일러가 남긴 증명을 살펴보자. 증명에서는 무한강하법이라는 논리가 사용된다. 무한강하법 (Method of Infinite Descent) 공집합이 아닌 자연수의 부분 집합에는 항상 최솟값 존재한다는 성질을 이용해서 모순을 이끌어 내는 증명 방법 중 하나로 귀류법의 한 종류이다. Euler의 증명 $x^3+y^3=z^3$에서 $z$에 $-z$을 대입하였다 생각하면 $x^3+y^3+z^3=0$이라는 대칭적인 식을 얻을 수 있다. 이 방정식의 정수해 $(x, y, z)$가 존재.. 공감수 8 댓글수 1 2022. 11. 4.
  • n=4일 때 페르마의 마지막 정리 페르마의 마지막 정리 (Fermat's Last Theorm, FLT) $n$이 $3$ 이상의 정수일 때 방정식 $$x^n+y^n=z^n$$을 만족하는 자명하지 않은 정수해 쌍 $(x, y, z)$은 존재하지 않는다. $n=4$일 때 페르마가 남긴 증명을 살펴봅시다. 증명에서는 무한강하법이라는 논리가 사용됩니다. 무한강하법 (Method of Infinite Descent) 공집합이 아닌 자연수의 부분 집합에는 항상 최솟값 존재한다는 성질을 이용해서 모순을 이끌어 내는 증명 방법 중 하나로 귀류법의 한 종류이다. Fermat의 증명 주어진 방정식을 간단하게 $$x^4+y^4=z^2$$으로 바꾸어 생각하자. 이 방정식의 양의 정수해 $(x, y, z)$가 존재한다고 가정하자. $x$와 $y$가 공약수를 가.. 공감수 5 댓글수 1 2022. 11. 4.
  • 라그랑주 네 제곱수 정리 라그랑주 네 제곱수 정리 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 다음을 만족하는 4개의 음이 아닌 정수 $x$, $y$, $z$, $w$가 존재한다. $$n=x^2+y^2+z^2+w^2$$ 증명에는 보조정리 2개가 사용됩니다. 보조정리 1 자연수 $m, n$이 네 개의 제곱수의 합으로 표현된다면, $mn$도 그러하다. pf) 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $z$, $w$에 대하여 $$\begin{aligned} m & =a^2+b^2+c^2+d^2 \\ n & =x^2+y^2+z^2+w^2\end{aligned}$$라 하자. 그러면 오일러의 네 제곱수 항등식(https://kimjiha.tistory.com/24)에 의하여, $$ \begin{align} & \left(a^2+.. 공감수 5 댓글수 1 2022. 10. 24.
  • 베르트랑 공준 베르트랑 공준 모든 자연수 $n$에 대하여, $n < p \le 2n$을 만족하는 소수 $p$가 존재한다. 증명 크게 7단계로 나누었다. Step 1. $n \le 4000$에 대하여 베르트랑의 공준이 성립함을 실험적으로 확인하자. 바로 앞의 소수의 $2$배보다 작은 소수들의 수열 $$2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163,$$ $$317, 631, 1259, 2503, 4001$$이 존재한다. 따라서 $n\le 4000$에 대하여 구간 $\left( n,2n \right]$은 위의 $14$개의 소수들 중 하나를 포함하므로, 베르트랑의 공준이 성립한다. Step 2. $2$ 이상인 자연수 $a$에 대하여 $a+1 공감수 11 댓글수 2 2022. 9. 10.
  • 르장드르 공식 르장드르 공식 $n!$은 소인수 $p$를 정확히 $$\displaystyle\sum_{k\ge 1} \lfloor\dfrac{n}{p^k}\rfloor$$번 포함한다. (여기서 $\lfloor n \rfloor$은 $n$를 넘지 않는 최대 정수를 의미한다.) 증명 $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots n$$의 곱을 나타내는 인수들 중에 정확히 $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$개의 인수가 $p$로 나누어지며, 이들이 곧 $p$의 배수이다. 다음, $n!$의 인수들 중 $p^2$으로 나누어지는 인수의 개수는$\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor$이다. 이는 $n!$이 소인수 $p$를 $\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor$개 더 포함함을 의.. 공감수 4 댓글수 0 2022. 9. 9.
  • 유클리드 호제법 유클리드 호제법 정수 $a$, $b$, $n$에 대하여 $$(a,b)=(a,b+an)$$이다. 참고로, 유클리드 호제법을 자연수 $a$를 $b$로 나눈 몫을 $q$, 나머지를 $r$라고 할 때 $(a,b)=(b,r)$로 알고 있는 사람들도 많은데, 꼭 몫이나 나머지일 필요도 없고 자연수일 필요도 없습니다. 증명을 위해서 다음 보조정리를 사용합시다. 보조정리 자연수 $p$와 $q$ 에 대하여 $p \mid q$ 이고 $q \mid p$ 이면 $p=q$이다. 증명 최대공약수 $(a,b)=p$, $(a,b+an)=q$라 하자. 먼저 $p \mid a$, $p \mid b$이므로 $p \mid b+an$을 얻는다. 따라서 $p$는 $a$와 $b+an$의 공약수. 어떤 두 수의 공약수는 그 두 수의 최대공약수의 .. 공감수 3 댓글수 0 2022. 9. 3.
  • 소수의 무한성 증명 유클리드의 증명 귀류법으로 소수가 $n$개로 유한하다고 가정하고, 그 유한한 소수들의 집합을 $P=\left\{ p_1,\,p_2,\,\cdots,\,p_n \right\}$라 하고, 새로운 수 $N=p_1\,p_2\, \cdots \,p_n+1$을 정의하자. $N$은 $p_k$ ($k$는 $n$ 이하의 자연수)보다 큰 자연수이므로 $N \notin P$이다. 따라서 $N$은 합성수이므로, $\dfrac{N}{p_k} \in \mathbb{N}$이도록 하는 $p_k$가 존재해야 한다. $$\begin{eqnarray} && \dfrac{N}{p_k}=\dfrac{p_1\,p_2\,\cdots\,p_n+1}{p_k} \\ && =p_1\,p_2\,\cdots\,p_{k-1}\,p_{k+1}\,\cdots\.. 공감수 8 댓글수 0 2022. 8. 23.
  • 아이젠슈타인 판정법 아이젠슈타인 판정법 정수 계수 다항식 $$P(x)=a _{n} x ^{n} +a _{n-1} x ^{n-1} + \cdots +a _{1} x+a _{0}$$(단, $n \in \mathbb{N}$)에 대하여 다음 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하면, $P(x)$는 정수 계수 범위에서 기약다항식(더 이상 인수분해 되지 않는 다항식)이다. $$\begin{eqnarray} && p \nmid a_n \\ && p\mid a _{n-1},\,a _{n-2},\, \cdots,\, a _{2},\,a _{1} \\ && p ^{1} \mid \mid a _{0} \end{eqnarray} $$ 증명 귀류법으로, 정수 계수 다항식 $P(x)$에 대하여 위의 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하고, $P(x).. 공감수 8 댓글수 0 2022. 8. 10.
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