아이젠슈타인 판정법

아이젠슈타인 판정법

정수 계수 다항식 $$P(x)=a _{n} x ^{n} +a _{n-1} x ^{n-1} + \cdots  +a _{1} x+a _{0}$$(단, $n \in \mathbb{N}$)에 대하여 다음 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하면, $P(x)$는 정수 계수 범위에서 기약다항식(더 이상 인수분해 되지 않는 다항식)이다.

$$\begin{eqnarray} && p \nmid a_n \\ && p\mid a _{n-1},\,a _{n-2},\, \cdots,\, a _{2},\,a _{1} \\ && p ^{1} \mid \mid  a _{0} \end{eqnarray} $$

 

증명

귀류법으로, 정수 계수 다항식 $P(x)$에 대하여 위의 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하고, $P(x)$가 두 정수 계수 다항식 $Q(x),\,R(x)$에 대하여 $P(x)=Q(x)R(x)$로 인수분해 된다고 하자. 이때 다항식을 $$\begin{aligned} Q(x) & =q _{b} x ^{b} +q _{b-1} x ^{b-1} + \cdots+q _{1} x+q _{0} \\ R(x)&=r _{c} x ^{c} +r _{c-1} x ^{c-1} + \cdots +r _{1} x+r _{0}\end{aligned}$$로 정의하자. (단, $b$와 $c$는 자연수이다.) $P(x)=Q(x)R(x)$에서 상수항을 비교하면 $a _{0} =q _{0} r _{0}$이다. 즉, $p ^{1} \mid \mid  a _{0} =q _{0} r _{0}$이다. 이때, 일반성을 잃지 않고 $p \mid q_0$, $p \nmid r_o$라 하자. $q _{0}$, $q _{1}$, $\cdots$, $q _{b-1}$, $q _{b}$이 모두 $p$의 배수이면 $a_n$이 $p$의 배수가 되므로 $q _{0},\,q _{1},\,\cdots,q _{b-1},\,q _{b}$ 중 $p$의 배수가 아닌 계수는 적어도 하나 존재한다. 따라서 $q _{0}$, $q _{1}$, $\cdots$, $q _{b-1}$, $q _{b}$들을 $q_0$부터 읽었을 때 처음으로 $p$의 배수가 아니게 되는 계수를 $q_t$라 하자. (단, $t$는 $b$ 이하의 자연수) 그러면, $p \mid q _{0}$, $p \mid q _{1}$, $\cdots$, $p \mid q _{t-1}$, $p \nmid q _{t}$을 만족한다. $P(x)=Q(x)R(x)$에서 $$a _{t} =q _{0} r _{t} +q _{1} r _{t-1} + \cdots  +q _{t-1} r _{1} +q _{t} r _{0}$$ 아이젠슈타인 판정법의 조건에 따르면 $p \mid a_t$여야 하는데, $$a _{t} =(q _{0} r _{t} +q _{1} r _{t-1} + \cdots  +q _{t-1} r _{1}) +q _{t} r _{0}$$에서 괄호 안은 $q _{0}$, $q _{1}$, $\cdots$, $q _{t-1}$이 곱해져 있기 때문에, $p$의 배수이지만, $p \nmid q_t$, $p \nmid r_0$에서 $p \nmid q_t r_0$이다. 따라서 $p \nmid a_t$이므로, 이는 모순이다. 따라서 아이젠슈타인 판정법의 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하면 주어진 정수 계수 다항식 $P(x)$은 정수 계수 범위에서 기약다항식이다.   $\blacksquare$

 

주의사항

아이젠슈타인 판정법은 어떤 정수계수 다항식이 기약다항식일 충분조건이다. 즉, 아이젠슈타인 판정법을 만족하면 기약다항식이지만, 아이젠슈타인 판정법을 만족하지 않는다고 기약다항식이 아니라고 생각해서는 안된다.

예시 : $x^3+1$에서 아이젠슈타인 판정법을 만족하는 소수 $p$는 존재하지 않지만, $x^3+1$은 정수 계수 범위에서 기약다항식이다.

 

활용

어떠한 다항식은 기약다항식임에도 불구하고 아이젠슈타인 판정법을 만족하는 소수가 존재하지 않는 형태일 수 있습니다. 이를 위해서, 다항식이 아이젠슈타인 판정법을 만족하는 소수를 가지도록 적절히 변형해주어야 합니다. 아이젠슈타인 판정법을 활용할 때는 다음 보조정리를 이용합니다.

 

보조정리

정수 계수 다항식 $f(x)$와 정수 $d$에 대하여 $f(x)$와 $f(x+d)$의 정수 계수 범위에서 기약다항식일 여부는 같다.

 

예제로서, 아이젠슈타인 판정법과 위의 보조정리를 이용하여 원본 다항식이 기약 다항식임을 증명하여 봅시다.

 

원본 다항식

자연수 $n$에 대하여 다항식 $$\dfrac{x^n-1}{x-1}=x ^{n-1} +x ^{n-2} +\cdots +x+1$$을 $n$번째 원본 다항식이라고 한다. 이제, 소수 $p$에 대하여 $p$번째 원본 다항식이 정수 계수 범위에서 기약다항식임을 아이젠슈타인 판정법을 이용하여 보이자.

pf) $f(x)=\dfrac{x^p-1}{x-1}$라 하자. 그러면 $f(x+1)$은 다음과 같이 계산된다.

$$\begin{eqnarray} && f(x+1) =\dfrac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} \\&& =\dfrac{ {p \choose p} x^p+{p \choose p-1}x^{p-1}+\cdots+{p \choose 0}-1}{x+1-1} \\&& =\dfrac{ \left( {p \choose p} x^{p-1}+{p \choose p-1}x^{p-2}+\cdots+{p \choose 1} \right) x}{x} \\&& ={p \choose p}x^{p-1}+{p \choose p-1}x^{p-2}+\cdots+{p \choose 1}\end{eqnarray}$$

이때 $p$보다 작은 자연수 $n$에 대하여 $${p \choose n}=\dfrac{(p)(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}$$이므로, ${p \choose n}$은 $p$의 배수이다. 또한 최고차항은 $1$이므로 $p$의 배수가 아니고, 상수항은 $p$이므로 $p$로 한 번만 나누어떨어진다. 따라서 $p$는 다항식 $f(x+1)$에 대하여 아이젠슈타인 판정법을 만족하는 소수이므로, $f(x+1)$은 기약다항식이다. 즉, 원래 다항식인 $f(x)$도 기약다항식이게 된다.

 

Exponential 17 김지하