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이항 계수4

베르트랑 공준 베르트랑 공준 모든 자연수 $n$에 대하여, $n < p \le 2n$을 만족하는 소수 $p$가 존재한다. 증명 크게 7단계로 나누었다. Step 1. $n \le 4000$에 대하여 베르트랑의 공준이 성립함을 실험적으로 확인하자. 바로 앞의 소수의 $2$배보다 작은 소수들의 수열 $$2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163,$$ $$317, 631, 1259, 2503, 4001$$이 존재한다. 따라서 $n\le 4000$에 대하여 구간 $\left( n,2n \right]$은 위의 $14$개의 소수들 중 하나를 포함하므로, 베르트랑의 공준이 성립한다. Step 2. $2$ 이상인 자연수 $a$에 대하여 $a+1 2022. 9. 10.
이항 계수의 상계와 하계 이항 계수의 상계 $${n \choose k}\le 2^n$$ pf) ${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$에서 일반성을 잃지 않고 $k \le \frac{n}{2}$라 하자. ($k>\frac{n}{2}$인 경우에는 $n-k \le \frac{n}{2}$이므로 일반성을 잃지 않을 수 있다.) 이때, $$\dfrac{n-k+1}{1} \le \dfrac{n-k+2}{2} \le \cdots \dfrac{n-1}{k-1} \le \dfrac{n}{k} \le 2$$이므로 $${n \choose k} = \dfrac{n-k+1}{1}\dfrac{n-k+2}{2}\cdots\dfrac{n-1}{k-1}\dfrac{n}{k} \le 2^n$$이게 된다. $\blacksquare$ 또한,.. 2022. 9. 9.
이항 계수 항등식 이항 계수들의 합 자연수 $n$에 대하여, $$\displaystyle\sum_{k=0}^n{n \choose k}=2^n$$이 성립한다. pf) 이항정리 $$(1+x)^n={n \choose n}x^n+{n \choose n-1}x^{n-1}+\cdots+{n \choose 1}x+{n \choose 0}$$에서, $x=1$을 대입하면 바로 유도된다. $\blacksquare$ 파스칼 항등식 음이 아닌 정수 $r 2022. 9. 9.
탄젠트의 배각 공식과 이항 계수 tan 배각 공식 $\tan\theta=t$라고 하면, $\tan n\theta$는 다음과 같다. $$\tan n\theta=\dfrac{{n \choose 1}t-{n \choose 3}t^3+{n \choose 5}t^5-\cdots}{{n \choose 0}-{n \choose 2}t^2+{n \choose 4}t^4-\cdots}$$ 이항 계수가 파스칼 삼각형처럼 나열된 모습이다. 증명 수학적 귀납법(Induction)을 이용한다. 1. $n=2$일 때 $$\tan 2\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{{2 \choose 1}t}{{2 \choose 0}-{2 \choose 2}t^2}$$이므로 성립한다. 2. $n=k$일 때 성립을 가정하면, $n=k+1$일 때 $$\beg.. 2022. 8. 29.

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