작도4 1959 IMO 이번 글에서는 1959년에 치루어진 첫 번째 IMO에서 출제된 6문제를 모두 살펴봅시다. 첫 번째 시험인 만큼 2022년 기준 난이도는 지나치게 쉽습니다. 필자 또한 30분도 안 걸려서 (6번을 제외한) 모든 문제들을 다 해결할 수 있었을 정도이므로, 풀이를 보기 전에 한번 도전해봅시다. 1959 IMO 1. 모든 자연수 $n$에 대하여 $$\dfrac{21n+4}{14n+3}$$이 기약분수임을 보여라. sol) 유클리드 호제법을 이용하여 분자와 분모의 최대공약수를 살펴보면, $$\begin{eqnarray} (21n+4,14n+3)&&=(7n+1,14n+3)\\&&=(7n+1,1)\\&&=1\end{eqnarray}$$ 따라서 분자와 분모는 서로소이기 때문에 주어진 수는 항상 기약분수이다. 1959 I.. 2022. 9. 3. 정십칠각형의 작도법 저번 글에서 $$\begin{eqnarray} && \cos\dfrac{2\pi}{17} \\&& =-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\sqrt{17}+\dfrac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\&& +\dfrac{1}{16}\sqrt{68+12\sqrt{17}+2(-1+\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\end{eqnarray}$$ 임을 구했다. 이제 이 수를 작도함으로써 정십칠각형을 작도해보자. 1. 임의의 원 $\mathrm{O}$을 그리고, 그 원의 반지름을 $1$로 잡자. 2. $O$의 서로 수직한 지름 $\overline{\mathrm{PQ}}$, $\overline{\mathrm{RS}}$을 .. 2022. 8. 18. 정십칠각형의 작도 가능성 : cos2pi/17 구하기 정십칠각형의 작도 가능성을 알아보기 전에 먼저 정오각형으로 연습하자. 정오각형의 작도 가능성 정오각형을 작도 가능성을 따지는 것은 $x^5=1$의 근의 작도 가능성을 따지는 것과 같다. $x^5=1$의 한 근을 $z$라고 하면 나머지 근들은 $z$, $z^2$, $z^3$, $z^4$, $z^5=1$이다. 여기서 $$z^n=\cos\dfrac{2n\pi}{5}+i \sin\dfrac{2n\pi}{5}$$ (단, $n$은 $5$ 이하의 자연수)라고 할 수 있다. 이때$$z=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i \sin\dfrac{2\pi}{5}$$ $$\begin{eqnarray} z^4 && =\cos\dfrac{8\pi}{5}-i \sin\dfrac{8\pi}{5} \\ && =\cos\dfrac{2.. 2022. 8. 16. 작도 가능한 수 작도 가능한 수 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한번 사용하여 나타낼 수 있는 수를 말한다. 형태 눈금 없는 자로는 일차식 $ax+by+c=0$을 나타낼 수 있고, 컴퍼스로는 이차식 $x^2+y^2+ax+by+c=0$을 나타낼 수 있다. 따라서, 작도 가능한 수는 위의 두 가지 식 유형을 연립하여 얻을 수 있는 값들이고, 이는 유리수의 제곱근이나 사칙연산을 유한번 적용하여 얻을 수 있는 수이다. 작도 불가능한 수 어떤 수가 정수 계수 다항방정식의 근이 될 수 없는 수인 초월수이거나, 어떤 수를 근으로 가지는 정수 계수 다항방정식의 최소 차수가 $2^n$ (단, $n$은 자연수)이 아니라면 그 수는 작도 불가능하다. 이를 토대로 3대 작도 불능 문제를 설명해보자. 3대 작도 불능 문제란 다음 세 작도 문제이다... 2022. 8. 16. 이전 1 다음
