정십칠각형의 작도법

저번 글에서

$$\begin{eqnarray} && \cos\dfrac{2\pi}{17} \\&& =-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\sqrt{17}+\dfrac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\&& +\dfrac{1}{16}\sqrt{68+12\sqrt{17}+2(-1+\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\end{eqnarray}$$

임을 구했다. 이제 이 수를 작도함으로써 정십칠각형을 작도해보자.

 

1. 임의의 원 $\mathrm{O}$을 그리고, 그 원의 반지름을 $1$로 잡자.

2. $O$의 서로 수직한 지름 $\overline{\mathrm{PQ}}$, $\overline{\mathrm{RS}}$을 긋자.

3. $\overline{\mathrm{OR}}$의 $1:3$ 내분점 $\mathrm{A}$을 잡자.

그러면, $\mathrm{OA}=\dfrac{1}{4}$이고 피타고라스 정리에 의해 $\mathrm{AP}=\dfrac{\sqrt{17}}{4}$

4. $\angle\mathrm{PAO}$ 와 그 외각의 이등분선과 지름 $\mathrm{PQ}$의 교점을 각각 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 하자.

각 이등분선의 성질에 의해 $\mathrm{OB:BP}=1:\sqrt{17}$이므로 $$\mathrm{OB}=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{16}$$

각 이등분선의 성질에 의해 $\mathrm{OC:CP}=1:\sqrt{17}$이므로 $$\mathrm{OC}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{16}$$

 

5. 점 $\mathrm{C}$을 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$을 지나는 원과 지름 $\mathrm{PQ}$와의 교점을 $\mathrm{D}$, 점 $\mathrm{B}$을 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$을 지나는 원과 지름 $\mathrm{PQ}$와의 교점을 $\mathrm{E}$를 잡자.

그러면,

$$\mathrm{CD=CA=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{(\dfrac{1}{4})^2+(\dfrac{1+\sqrt{17}}{16})^2}=\dfrac{1}{16}\sqrt{34+2\sqrt{17}}}$$

$$\mathrm{BE=BA=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(\dfrac{1}{4})^2+(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{16})^2}=\dfrac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}}$$

6. $\overline{\mathrm{QD}}$을 지름으로 하는 원과 $\overline{\mathrm{OS}}$와의 교점을 $\mathrm{F}$을 잡자.

그러면,

$$\begin{eqnarray} \mathrm{MF=MQ} &&=\dfrac{1}{2}\mathrm{QD}=\dfrac{1}{2}(\mathrm{QC+CD})=\dfrac{\mathrm{1-OC+CD}}{2} \\ && =\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1+\sqrt{17}}{16}+\dfrac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{16} \\ && =\dfrac{1}{32}(15-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}) \end{eqnarray}$$

 

7. $\overline{\mathrm{OE}}$을 지름으로 하는 반원을 지름 $\mathrm{PQ}$ 아래에 잡고, 점 $\mathrm{O}$을 중심으로 하고 점 $\mathrm{F}$을 지나는 원과의 교점을 $\mathrm{G}$라 하자.

그러면,

$$\begin{eqnarray} \mathrm{OG=OF} &&=\sqrt{\mathrm{MF^2-MO^2}}=\sqrt{\mathrm{MF^2-(1-MF)^2}} \\ && =\sqrt{ \mathrm{2MF-1}} \\ && = \sqrt{\dfrac{1}{16}(15-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}})-1} \\ && = \dfrac{1}{4}\sqrt{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \end{eqnarray}$$

8. 점 $\mathrm{E}$을 중심으로 하고 점 $\mathrm{G}$을 지나는 원과 지름 $\mathrm{PQ}$의 교점 중 $\mathrm{P}$에 더 가까운 점 $\mathrm{H}$을 잡자.

그러면,

$$\begin{eqnarray} \mathrm{EH=EG} &&=\sqrt{\mathrm{OE^2-OG^2}}=\sqrt{\mathrm{(OB+BE)^2-OG^2}} \\ &&=\sqrt{(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{16}+\dfrac{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{16})^2-\dfrac{1}{16}(-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}})} \\ && = \dfrac{1}{16} \sqrt{  68+12\sqrt{17}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2(1-\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}}  }  \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \mathrm{OE=OB+BE} && =\dfrac{-1+\sqrt{17}}{16}+\dfrac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\ && =\dfrac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}) \end{eqnarray}$$

따라서 $\mathrm{OH=OE+EH=\cos\dfrac{2\pi}{17}}$이다.

 

이제, 점 $\mathrm{H}$을 지나며 지름 $\mathrm{PQ}$에 수직인 직선을 긋고 원 $\mathrm{O}$와의 교점 $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$을 잡자. 그러면, 점 $\mathrm{X}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Y}$는 차례대로 정십칠각형의 세 꼭짓점이 되고 각을 복사하면 정십칠각형의 나머지 꼭짓점들을 찾을 수 있다.

 

글의 방법대로 필자가 직접 작도한 정십칠각형

Exponential 17 김지하