불변성의 원리2 픽의 정리 픽의 정리는 격자점의 개수를 알고싶을 때 쓰이는 강력한 정리입니다. 오일러 지표를 사용하여 픽의 정리를 증명해봅시다. (글의 이해를 위해서는 그래프 이론의 기초 내용이 필요합니다.) 우선 픽의 정리를 오일러 지표로 증명하기 위해 다음 보조정리를 증명하고 갑시다. Lemma 임의의 꼭짓점이 모두 격자점 위에 있는 다각형을 도형 내부의 점과 변 위의 점을 통해 기본 삼각형으로 분할했을 때 생기는 변의 개수를 $e$, 처음 다각형의 내점 수를 $i$, 변 위의 점의 수를 $b$라고 하면 다음 식이 성립한다. $$e=3i+2b-3$$ (여기서 기본삼각형은 격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에 내점이 아예 존재하지 않는 삼각형으로, 넓이는 항상 $\dfrac{1}{2}$입니다. 한 가지 혼동을 방지하자면, 기본 .. 2022. 8. 20. 1986 IMO 3번 : 불변성의 원리 1986년에 치루어진 제 27회 IMO에서 최고의 변별력을 가진 문제는 3번 문제였습니다. 풀이에 이용되는 핵심 아이디어인 불변성의 원리를 알아봅시다. 불변성의 원리란 문제 해결과정에서 여전히 변하지 않고 그대로 남는 것을 관찰하는 원리입니다. 즉, 불변량을 관찰하는 문제 해결 전략이죠. 예제들을 해결하며 더 자세히 알아봅시다. Question 1. 홀수 $n$에 대하여 칠판에 $1$, $2$, $\cdots$, $2n$의 자연수가 적혀있다. 칠판의 적혀있는 임의의 두 자연수 $a$, $ b$에 대하여 두 자연수를 지우고 $\left\vert a-b \right\vert$를 적는다. 이 과정을 반복하여 맨 마지막에 남는 수가 홀수임을 증명하여라. sol) $a+b$와 $\left\vert a-b \rig.. 2022. 7. 21. 이전 1 다음
