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삼각함수6

질-좋은 수학교육과정에 대한 논문 모음 1. 원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화 https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=JAKO200604623638660&dbt=NART [논문]원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화 본 논문에서는 학교수학에서 발견할 수 있는 순환논법의 예로서 고등학교 미분과 적분 교과서에서 정적분을 통해 원의 넓이를 구하는 과정에서 발견되는 순환논법을 수학적으로 분석하고, 학 scienceon.kisti.re.kr 미적분 교과서에는 원의 넓이를 $$2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}$$로 구합니다. 이 적분값을 구하는 과정에서 $\sin x$의 도함수가 $\cos x$임을 사용하게 됩니다. 이것은 $$\disp.. 2022. 11. 6.
좆간지나는 삼각함수 항등식 $$\begin{aligned} \sin(x+y+z) & =\sin x\cos y\cos z+\sin y\cos z\cos x+\sin z\cos x\cos y-\sin x\sin y\sin z \\ \cos(x+y+z) & =\cos x\cos y\cos z-\cos x\sin y\sin z-\sin x\cos y\sin z-\sin x\sin y\cos z \\ \tan(x+y+z) & =\dfrac{\tan x+\tan y+\tan z-\tan x\tan y\tan z}{1-\tan x\tan y-\tan y\tan z-\tan z\tan x} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \sin x+\sin y+\sin z-\sin(x+y+z) & =4\sin\dfrac{x+y}{.. 2022. 9. 21.
1959 IMO 이번 글에서는 1959년에 치루어진 첫 번째 IMO에서 출제된 6문제를 모두 살펴봅시다. 첫 번째 시험인 만큼 2022년 기준 난이도는 지나치게 쉽습니다. 필자 또한 30분도 안 걸려서 (6번을 제외한) 모든 문제들을 다 해결할 수 있었을 정도이므로, 풀이를 보기 전에 한번 도전해봅시다. 1959 IMO 1. 모든 자연수 $n$에 대하여 $$\dfrac{21n+4}{14n+3}$$이 기약분수임을 보여라. sol) 유클리드 호제법을 이용하여 분자와 분모의 최대공약수를 살펴보면, $$\begin{eqnarray} (21n+4,14n+3)&&=(7n+1,14n+3)\\&&=(7n+1,1)\\&&=1\end{eqnarray}$$ 따라서 분자와 분모는 서로소이기 때문에 주어진 수는 항상 기약분수이다. 1959 I.. 2022. 9. 3.
탄젠트의 배각 공식과 이항 계수 tan 배각 공식 $\tan\theta=t$라고 하면, $\tan n\theta$는 다음과 같다. $$\tan n\theta=\dfrac{{n \choose 1}t-{n \choose 3}t^3+{n \choose 5}t^5-\cdots}{{n \choose 0}-{n \choose 2}t^2+{n \choose 4}t^4-\cdots}$$ 이항 계수가 파스칼 삼각형처럼 나열된 모습이다. 증명 수학적 귀납법(Induction)을 이용한다. 1. $n=2$일 때 $$\tan 2\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{{2 \choose 1}t}{{2 \choose 0}-{2 \choose 2}t^2}$$이므로 성립한다. 2. $n=k$일 때 성립을 가정하면, $n=k+1$일 때 $$\beg.. 2022. 8. 29.
젠센 부등식의 활용 : 삼각함수 먼저, 구간별 삼각함수의 볼록성을 살펴보자. sin 함수의 볼록성 $f(x)=\sin x$라 두고 볼록성을 확인하기 위하여 두 번 미분하면 $f''(x)=-\sin x$이다. 이때, $(0,\pi)$에서 $-\sin x0$, $\dfrac{\sin\sqrt x}{\cos\sqrt x}>\sqrt x$ 즉, $$\tan X>X$$인 구간을 찾아야 한다. (이때, $X=\sqrt x,\,x=X^2$) $(0,\frac{\pi}{2})$에서 함수 $g(x)=\tan x-x$을 잡으면, $$g'(x)=\sec^2 x-1>0$$ 이므로 $g(x)$는 증가함수이다. $g(0)=0$이므로, $(0,\dfrac{\pi}{2})$에서 $g(x)>0$ 따라서 $(0,\frac{\pi}{2})$에서 $$\dfrac{\sin.. 2022. 8. 8.
삼각함수의 해석적 연속 해석적 연속 해석적 연속 또는 해석적 확장이란, 복소해석학을 매게로 기존의 함수의 치역을 유지한 채 정의역을 더 넓은 범위로 확장하는 것을 말한다. 글에서 다루는 삼각함수 외에도 지수함수도 정의역을 자연수에서 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장해 나간다. 삼각비 정의역 : $(0,\frac{\pi}{2})$ $\angle B$가 직각인 직각삼각형 $ABC$에서 삼각비들을 다음과 같이 정의한다. $$\begin{aligned} \sin A & =\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \\ \cos A & =\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \\ \tan A & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \csc A & =\dfrac{\m.. 2022. 8. 7.

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