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생성함수와 카탈란 수 0. 개요경우의 수를 셀 때, 합의 법칙과 곱의 법칙을 매번 손으로 따지는 대신 생성함수라는 도구를 이용하면 다항식(혹은 급수)의 곱셈과 덧셈만으로 문제를 훨씬 체계적으로 풀어낼 수 있다.이 글에서는 먼저 생성함수의 정의와 활용 예제를 살펴본 뒤, 생성함수의 대표적인 응용 사례인 카탈란 수를 기하학적 증명과 생성함수적 증명 두 가지 방법으로 유도하고, 마지막으로 카탈란 수와 일대일 대응되는 다섯 가지 조합론적 상황을 정리한다.1. 생성함수 (Generating function)- 정의수열 $a_n$의 생성함수 $f(x)$를 다음과 같이 정의한다.$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n =a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots $$$a_n$ : 특정 조건을 만족하는 경우의 수$x^n$.. 2026. 8. 11.
복소수와 복소로그함수 0. 개요고등학교 대수를 보면 지수를 실수 전체로 확장하고 로그함수를 배운다.이 글에서는 복소수 지수를 위한 기본 개념과 기타 개념들을 알아보고 지수를 실수에서 복소수까지 확장할 것이며로그의 진수를 $0$ 아닌 복소수까지 확장한 복소로그함수에 대해 알아볼 것이다.1. 오일러 항등식과 기본 개념들- 복소평면 (complex plane)복소수의 집합 $\mathbb{C}$를 좌표평면 $\mathbb{R}^{2}$에 나타낸 것$z$를 복소평면에 표현하면 $(Re(z),\, Im(z))$가 된다. - 오일러 항등식$e^{ix} = \cos x + i \sin x \quad (x \in \mathbb{R})$$(pf)$$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \qua.. 2026. 7. 9.
Curl의 의미와 스토크스 정리 증명 스토크스 정리는 발산 정리와 함께 물리학에서 굉장히 자주 쓰이는 정리 중 하나입니다. 이번 글에서는 Curl이 왜 회전을 의미하는지, 또 이를 이용해서 스토크스 정리를 증명해보고자 합니다.2차원에서 회전비율을 어떤 식으로 나타낼 수 있을까요? Curl의 정의를 알아보기 위한 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 경계 주변에서 함수 F의 회전 비율은 각 속도의 접선 방향의 흐름과 변 길이의 곱의 합이다.이를 다음과 같은 상황에 적용 시킵니다. 다음과 같이 벡터함수 (F=M(x,y))(\textbf{i}+N(x,y))(\textbf{j}) 가 주어졌을때 각 변에서 접선 방향의 흐름과 변 길이의 곱을 구해보면 다음과 같습니다. Top : $F(x,y+\Delta y)\cdot (-\textbf{i})\De.. 2025. 12. 16.
Divergence의 의미와 발산 정리 증명 발산 정리는 수학적으로 유도되는 공식이지만 물리학에서도 자주 사용되는 중요한 적분 공식들 중 하나입니다. 우선 발산 정리의 증명에 대해 알아보기 전에 먼저 Divergence의 수학적 의미에 대해서 알아보고 가도록 하겠습니다. 벡터장((\text{Vector Field})) 토마스 미분적분학에 나와있는 벡터장의 정의는 다음과 같습니다. 위에서 말하는 바에 따르면 움직이는 유체에 의해 점유된 평면 혹은 공간이 있다고 가정했을 때 그 유체는 무수히 많은 입자들로 구성되어 있습니다. 각각의 입자는 v라는 속도를 가지고 있고 그 속도들은 변할 수 있습니다. 이러한 유체의 흐름을 벡터장의 예로 들수 있습니다. 쉽게 말하자면 기존의 스칼라 함수와는 달리 각각의 좌표에 대응되는 것이 벡터라는 점이라는 것입니다. .. 2025. 9. 9.
Proof without words Proof without words는 말그대로 수학 공식을 단어를 사용하지 않고 증명하는 방법이다. 주로 그림을 이용하며, 수식은 최소한으로 쓰인다. Proof without words는 자연어 사용이 없으며 수식 사용도 지양하므로, 일반적인 증명에 비해 논리에 결함이 있다. 즉, 증명 단계에 많은 생략이 일어나며, ‘증명’의 정의를 고려하면 Proof without words는 엄밀한 의미의 ‘증명’이라고 보기 어려울 수 있다. 그럼에도 증명 흐름을 한눈에 보여준다는 점에서 수학 학습자에게 유의미한 학습 도구라는 것은 분명하다. 미국의 수학자 Roger B. Nelsen 교수가 쓴 도서 《Proof without words》는 각 증명을 한 수학자의 이름과 함께 Proof without words 방.. 2025. 7. 24.
곡률과 법선 벡터 * 공간곡선(space curve)$ f, g, h $가 구간 $I$에서 연속인 실숫값 함수일 때, $t$가 구간 $ I $ 전체에서 변한다고 하면, $ x = f(t) $, $ y = g(t) $, $ z=h(t) $를 만족하는 모든 점 $ (x, y, z) $의 집합 $ C $을 공간곡선이라 한다. * $ C $의 매개변수방정식: $ x = f(t) $, $ y = g(t) $, $ z=h(t) $ * $ t $: 매개변수(parameter), $ t $를 시각 또는 시간으로 생각하면 시간에 따라 공간곡선 $ C $가 그려지는 것으로 생각. * 벡터함수 $ \textbf{r}(t) = f(t)\textbf{i} + g(t) \textbf{j} + h(t) \textbf{k} $ $ = (f(t), $.. 2025. 7. 23.

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