복소수와 복소로그함수

0. 개요

고등학교 대수를 보면 지수를 실수 전체로 확장하고 로그함수를 배운다.

이 글에서는 복소수 지수를 위한 기본 개념과 기타 개념들을 알아보고 지수를 실수에서 복소수까지 확장할 것이며

로그의 진수를 $0$ 아닌 복소수까지 확장한 복소로그함수에 대해 알아볼 것이다.

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1. 오일러 항등식과 기본 개념들

- 복소평면 (complex plane)

복소수의 집합 $\mathbb{C}$를 좌표평면 $\mathbb{R}^{2}$에 나타낸 것

$z$를 복소평면에 표현하면 $(Re(z),\, Im(z))$가 된다.

 

- 오일러 항등식

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \quad (x \in \mathbb{R})$

$(pf)$

$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (x = 0)$

비 판정법을 쓰면

$a_n = \frac{x^n}{n!}$

$=\lim\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert$

$= \lim\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{x^{n+1} \times n!}{x^n \times (n+1)!} \right\vert$

$= \lim\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{x}{n+1} \right\vert$

$= \left\vert x \right\vert \times 0 = 0\,\, \forall x \in \mathbb{R}$

따라서 모든 $x$에 대해 $ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$는 수렴한다.

라그랑주 나머지항을 통해 나머지를 구하면

$R_x (x) = \frac{e^c}{(n+1)!} x^{n+1}$

$= e^c \lim\limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

$= e^c \times 0 = 0$

$\therefore e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\; \forall x \in \mathbb{R}$

$e^{ix} = 1+ i \frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} -i\frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x$와 $\cos x$도 같은 방법으로 증명할 수 있다.

$\sin x =\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

$i \sin x = i \frac{x}{1!} - i \frac{x^3}{3!} + i \frac{x^5}{5!} - i \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots$

$\therefore e^{ix} = \cos x + i \sin x$

- 거리

$\forall p,\; q \in X, \exists d(p,\, q) \in \mathbb{R}\, s.t.$

$\mathrm{if}\; p \neq q\; \mathrm{then}\; d(p,\, q) > 0\, \wedge\, \mathrm{if}\; p = q\; \mathrm{then}\; d(p,\, q) = 0$

$d(p,\, q) = d(q,\, p)$

$\forall r \in X,\, d(p,\, q) \leq d(p,\, r) + d(r,\, q)$

인 경우 $d(p,\, q)$를 $p, q$ 사이의 거리라 하고 $X$를 거리공간이라 한다.

 

- 근방

한 점으로부터 특정 거리 미만인 모든 점의 집합이다.

$P(a)$의 $\epsilon -$근방 $B_{\epsilon} (P) = \{x|x \in \mathbb{R},\, \left\vert x-a \right\vert < \epsilon\}$

 

- 복소수의 절댓값

복소평면 상에서 $z(\in \mathbb{C})$와 원점과의 유클리드 거리

$z = a + bi \, ((a,\,b) \in \mathbb{R}^2)$

$|z|=\sqrt{a^2 + b^2}$

 

- 열린 집합

$\exists B_{\epsilon} (P)\, \wedge \, B_{\epsilon} (P) \subset E$일 때 $P$를 $E$의 내부점이라 하며

$E$의 모든 원소가 내부점일 때 $E$를 열린 집합이라 한다.

2. 복소수 지수와 지수법칙

복소수 지수는 $e^{x+yi}=e^x e^{yi} (x,\, y \in \mathbb{C})$로 정의한다.

why? $\to$ 순허수 지수는 급수로 표현 가능, 실수 지수는 모순 없음 $\to$ 일반화 : 값 유일

 

- 지수법칙의 확장

$x=x_1 + x_2 ,\, y=y_1 + y_2 \; (x_1,\, x_2,\, y_1,\, y_2 \in \mathbb{R})$

$e^{x_1 + y_1 i} e^{x_2 + y_2 i}$

$= (e^{x_1} e^{y_1 i})(e^{x_2} e^{y_2 i})$

$=(e^{x_1} (\cos y_1 +i\sin y_1))(e^{x_2}(\cos y_2 +i\sin y_2))$

$=e^{x_1} e^{x_2} (\cos y_1 +i\sin y_1)(\cos y_2 +i\sin y_2)$

$=e^{x_1 +x_2} ((\cos y_1 cos y_2 -\sin y_1 \sin y)2)+i(\sin y_1 \cos y_2 +\cos y_1 \sin y_2))$

$= e^{x_1 + x_2} ( \cos (y_1 +y_2) - i \sin (y_1 +y_2))$

$= e^{x_1 + x_2} e^{(y_1 + y_2)i}$

$= e^x e^{yi}$

$= e^{x+yi}$

3. 복소수의 극형식

복소수 $z=|z|(\cos \theta + i \sin \theta)$로 표현할 수 있다.

이를 만족하는 $\theta$를 $z$의 편각이라 하며 $arg(\theta)$로 쓴다.

$p(\theta)=\cos \theta + i \sin \theta$라 정의하자

$p(\theta)=e^{i \theta}$

$z_1=|z_1|p(\theta_1),\,z_2=|z_2|p(\theta_2)$라 하면

$z_1 z_2=|z_1||z_2|p(\theta_1)p(\theta_2)$

$=|z_1||z_2|e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$

$=|z_1||z_2|e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

$=|z_1||z_2|p(\theta_1 + \theta_2)$

$=|z_1 z_2|p(\theta_1 + \theta_2)\quad(\because |z|=\sqrt{a^2+b^2})$

$\therefore |z_1||z_2| = |z_1 z_2|,\,arg(z_1 z_2)=arg(z_1) + arg(z_2)$

4. 드 무아브르의 정리

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos (n\theta)+i\sin (n\theta)\quad(n\in \mathbb{Z})$

$(pf)$

$(step\,1)$

$\mathrm{i})\;n=2$

$(\cos \theta + i \sin \theta)^2=(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta)+i(2\sin \theta \cos \theta)$

$=\cos (2\theta)+i\sin (2\theta)$

$\mathrm{ii})\;n=k$일 때 성립 가정

$\mathrm{iii})\;n=k+1$

$ (\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1}=(\cos \theta +i\sin \theta)(\cos (k\theta)+i\sin (k\theta))$

$=(\cos \theta \cos (k\theta)-\sin \theta \sin (k\theta))(\sin \theta \cos (k\theta)+\cos \theta \sin (k\theta))$

$=\cos ((k+1)\theta)+i\sin ((k+1)\theta)$이므로 자연수 $n$에 대해 귀납적으로 성립

 

$(step\,2)$

$(\cos \theta +i\sin \theta)^0=1$

$=\cos (0\theta)+i\sin (0\theta)$로 $n=0$일 때도 성립

 

$(step\,3)$

$n=-k\;(k \in \mathbb{N})$

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n=(\cos \theta + i \sin \theta)^{-k}$

$=\frac{1}{(\cos \theta + i \sin \theta)^k}$

$=\frac{1}{\cos (k\theta)+i\sin (k\theta)}$

$=\frac{1 \times (\cos (k\theta)-i\sin (k\theta))}{(\cos (k\theta)+i\sin (k\theta))(\cos (k\theta)-i\sin (k\theta))}$

$=\frac{\cos (k\theta)-i\sin (k\theta)}{1}$

$=\cos (k\theta)-i\sin (k\theta)$

$=\cos (-k\theta)+i\sin (-k\theta)$

$=\cos (n\theta)+i\sin (n\theta)$로 성립

 

$\therefore (\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos (n\theta)+i\sin (n\theta)\quad(n\in \mathbb{Z})$

 

- 극방정식

$z^n =a\quad(n \in \mathbb{N},\,a \in \mathbb{R})$의 근은 $a \neq 0$일 때 서로 다른 $n$개의 복소수

5. 복소로그함수

로그의 진수를 복소수로 확장 $\to\;b \in \mathbb{R} \Longrightarrow e^b>0\; \to\;b$를 복소수 범위로 확장

$b=x+yi\quad((x,\,y)\in \mathbb{R}^2$

$e^b=e^{x+yi}=z$

$=e^x e^{yi}$

$=e^x (\cos y+i\sin y)$

$|z|=e^x$

$\therefore x=\ln |z|\quad(z\in (\mathbb{C}-\{0\}))$

$e^{yi}=(\cos y+i\sin y)$의 주기는 $2\pi$이므로

$y=\ln |z| + 2\pi m\quad(m\in \mathbb{Z})$

$\ln z=x+yi=\ln |z|+(arg(z)+2\pi m)i$이므로 함수의 정의에 모순

따라서 $arg(z)\in [0,\,2\pi),\,m=0$으로 제한하여 복소로그함수 정의

 

※ 꼭 $m=0$일 필요는 없으나 $m$ 값을 정해야 하므로 편의상 $m=0$으로 둔다.

※ 복소로그함수는 주기성으로 인해 연산을 할 때 이를 고려해야 한다.

     예시로 $\mathrm{Ln}(x^2)\neq 2\mathrm{Ln}(x)$일 수 있다.

 

본래 자연로그와 구별하기 위해 $\mathrm{Ln}(z)$와 같이 쓴다.

$\mathrm{Ln}(z)=\ln |z| + iarg(z)\quad(arg(z) \in [0,\,2\pi))$

 

- 로그함수와 복소로그함수의 차이점

구분	$\log$	$\mathrm{Log}$
정의역	양의 실수	$0$ 아닌 복소수
다른 변수의 정의 필요	$\times$	$\bigcirc\;(m$값$)$
주기성	$\times$	$\bigcirc\;(for\;Im(z))$

20기 Exponential 박지훈 &

21기 Exponential 박준영