연속함수

1. 연속함수 (Continous Functions)

실수치 함수 f가 a에서 연속이라 함은 $x\to a$일 때 $f(x)\to f(a)$임을 말한다.

더 정확히 정의하자면 다음과 같다.

1) $f(a)$이 정의되고

2) $\lim_{x\to a} f(x)$이 존재하고

3) $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$을 만족할 때

 

함수 $f$가 구간 $D$(정의역 Domain에서 따옴)에서 연속이라 함은 $D$의 모든 점에서 연속임을 말한다.

$f$가 $a$에서 연속인 것과 $a$로 수렴하는 임의의 수열 ${x_n}$이 있을 때, 이 수열 ${f(x_n)}$이 $f(a)$로 수렴한다는 것은 필요충분조건이다.

이것은 어떤 점에서 함수가 불연속임을 증명할 때 잘 사용된다.

ex) $f(x)=\begin{cases} \sin\frac{1}{x} & (x\ne{0})\\0 & (x=0)\end{cases}$

위의 함수는 $x=0$에서 불연속이다. 왜냐하면 $x_n=\frac{2}{(4n+1)\pi}$라고 했을 때

$n\to \infty$일 때 $x_n\to 0$ 이다. 그런데 ${f(x)}={\sin(2{\pi}n+\frac{\pi}{2})}$는 1로 수렴하므로 연속이 아니다.

 

2. 중간값 정리(Intermediate-Value Theorem)

$f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $f(a)<y<f(b)$이면 $f(c)=y$인 $c\in(a, b)$존재한다.

이것들의 증명은 다양한 방법이 있다. 나는 지금 중간값 정리를 다른 문제에도 활용할 수 있는 반복 이등분법으로 증명하려 한다.

pf) $f$가 폐구간 $[a,b]$ 에서 연속함수이고, $f(a)<f(b)$ 라고 가정하자. (다른 경우 즉 $f(a)>f(b)$인 경우도 마찬가지로 할 수 있다.) $y\in[a,b]$ 라고 하자. $a_0=a, b_0=b$ 라고 하자.

$x_1$을 구간 $[a_0,b_0]$ 의 중점이라 하자. 만약 $f(x)<y$이면 $a_1=x_1, b_1=b_0$ 라고 하고, $y<f(x_1)$이면 $a_1=a_3$, $b_1=x_1$라 하자. 각 경우에 $f(a_1)\le{y}\le{f(b_1)}$이고 $[a_1,b_1]$의 길이는 $[a,b]$ 길이의 반이다.

이제 x_2를 $[a_2,b_2]$ 의 중점이라 하고,$ f(x_2)<y$ 이면 $a_2=x_1$, $b_2=b_1$ 라고 하고 $f(x_2)\ge{y}$ 이면 $a_2=x_1$, $b_2=x_2$ 라고 하자. 이때에도 $f(a_2)\le{y}\le{f(b_2)}$, $b_2-a_2=\frac{b-a}{4}$ 이다.

이것을 계속 반복하자. 이때 다음과 같은 폐구간들의 열을 생각해보자. $$[a_0,b_0]>[a_1,b_1]>[a_2,b_2]>\cdots$$ 이것들의 길이는 $0$으로 수렴하므로 ${a_i}$, ${b_i}$은 같은 값으로 수렴한다. 그 값을 $c$라고 하자.

$f$의 연속성에 의하여 $\lim_{i\to \infty} f(a_i)=f(c)$, $\lim_{i\to \infty} f(b_i)=f(c)$가 성립한다. 그런데  $f(a_i)\le{y}\le{f(b_i)}$이므로, 따라서 $i\to \infty$ 일때 $$f(c)=\lim_{i\to \infty} f(a_i)\le{y}\le\lim_{i\to \infty} f(a_i)=f(c)$$ 즉, ${f(c)=y}$, 따라서 정리는 증명되었다.   $\blacksquare$

 

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