실력 수학의 정석1 베르누이 부등식 베르누이 부등식 $-1$ 이상의 실수 $x$와 $0$ 이상의 정수 $r$에 대하여 $$(1+x)^r \ge 1+rx$$가 성립한다. 증명 1 수학적 귀납법 이용 1) $r=0$일 때는 $$(1+x)^0 \ge 1+0 \times x =1$$은 자명하게 성립한다. 2) $r=k$일 때 성립을 가정하면, $$(1+x)^k \ge 1+kx$$이다. $r=k+1$일 때는 $$\begin{aligned} (1+x)^{k+1} & =(1+x)^k(1+x) \\ & \ge (1+kx)(1+x) \\ & =1+x+kx+kx^2 \\ & \ge 1+(k+1)x \end{aligned}$$이므로 성립한다. $\blacksquare$ 증명 2 산술-기하평균 부등식 이용 $-1 \le x \le -1/n$인 경우에는 $$(1.. 2022. 11. 18. 이전 1 다음
