베르누이 부등식

베르누이 부등식

$-1$ 이상의 실수 $x$와 $0$ 이상의 정수 $r$에 대하여 $$(1+x)^r \ge 1+rx$$가 성립한다.

 

증명 1 수학적 귀납법 이용

1) $r=0$일 때는 $$(1+x)^0 \ge 1+0 \times x =1$$은 자명하게 성립한다.

2) $r=k$일 때 성립을 가정하면, $$(1+x)^k \ge 1+kx$$이다. $r=k+1$일 때는 $$\begin{aligned} (1+x)^{k+1} & =(1+x)^k(1+x) \\ & \ge (1+kx)(1+x) \\ & =1+x+kx+kx^2 \\ & \ge 1+(k+1)x \end{aligned}$$이므로 성립한다.   $\blacksquare$

 

증명 2 산술-기하평균 부등식 이용

$-1 \le x \le -1/n$인 경우에는 $$(1+x)^n \ge 0 \ge 1+nx$$이므로 자명하다. $x > -1/n$인 경우에는 $1+nx>0$이므로 $$\begin{aligned} 1+x & = \dfrac{1+nx+(n-1)}{n} \\ & = \dfrac{1+nx+(1+1+\cdots+1)}{n} \\ & \ge \sqrt[n]{1+nx} \end{aligned}$$이다. 양변을 $n$제곱해주면 증명이 완료된다.   $\blacksquare$

 

베르누이 부등식의 일반화

$0$ 초과의 실수 $\alpha$와 $-1$ 이상의 실수 $x$에 대하여,

$\alpha \le 1$인 경우 : $(1+x)^{\alpha} \le 1+\alpha x$
$\alpha >1$인 경우 : $(1+x)^{\alpha} \ge 1+\alpha x$

가 성립한다.

 

증명 1 간단한 미분

$f(x)=(1+x)^{\alpha}-1-\alpha x$을 정의하자. 그러면 $$\begin{aligned} f'(x) & =\alpha(1+x)^{\alpha-1}-\alpha \\ & =\alpha \left\{(1+x)^{\alpha-1}-1\right\} \end{aligned}$$이다. 모든 $\alpha$에 대하여 $f'(x)=0$이게 하는 $x$은 $0$이므로, $f(x)$은 $x=0$에서 극값 $0$을 가진다.

1) $\alpha \le 1$인 경우에는 극값 $0$이 극댓값이므로 $f(x) \le 0$이다. 따라서 $(1+x)^{\alpha} \le 1+\alpha x$이 성립한다.

2) $\alpha >1$인 경우에는 극값 $0$이 극솟값이므로 $f(x)\ge 0$이다. 따라서 $(1+x)^{\alpha} \ge 1+\alpha x$이 성립한다.   $\blacksquare$

 

증명 2 평균값 정리

 

활용

양수 $x$에 대하여 $$\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^x \le e$$에서 $x$을 $\dfrac{1}{x}$로 치환해주면 $$(1+x)^{\frac{1}{x}} \le e$$이다. 따라서 $(1+x) \le e^x$이므로, $(1+x)^r \le e^{rx}$이다. 이 부등식과 베르누이 부등식을 연립하면, $$1+rx \le (1+x)^r \le e^{rx}$$을 얻는데, 이를 이용하여 $(1+x)^r$을 근사할 수 있다.

 

예제

[실력 수학의 정석 수I 연습문제 15-24]

$x \ge 0$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $$x^n-1 \ge n(x-1)$$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하라.

sol) $x=1+t$라 하면 $t \ge -1$이다. $x$을 $t$로 바꾸어주면 $$(1+t)^n-1 \ge nt$$이다. 정리하면 $$(1+t)^n \ge 1+nt$$이다. 이는 베르누이 부등식의 형태이다.

[실력 수학의 정석 미적분 연습문제 11-21]

$x>1$ 또는 $x<\dfrac{1}{2}$일 때, 자연수 $n$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. $$\left(1+\dfrac{x}{x-1}\right)^n \ge 1+\dfrac{nx}{x-1}$$

sol) $\dfrac{x}{x-1}$을 $t$로 치환하면 $(1+t)^n \ge 1+nt$의 형태이다. 베르누의 부등식에 의하여 $t \ge -1$이어야 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식이 성립한다. 따라서, $$\dfrac{x}{x-1} \ge -1$$이다. 양변에 $(x-1)^2$을 곱하면, $$x(x-1) \ge -(x-1)^2 =-x^2+2x-1$$ 얻은 부등식을 정리해주면 $(x-1)(2x-1) \ge 0$을 얻는다. 따라서, $x \ge 1$, $x \le \dfrac{1}{2}$일 때 위의 부등식은 성립한다. 문제에서 $x \ne 1$이므로 $x>1$, $x \le \dfrac{1}{2}$일 때 위의 부등식은 성립한다.

 

Exponential 17 김지하