변환과 행렬

1. 선형변환

$f:(x, y)\to (x^\prime, y^\prime)$

변환 $f$가 임의의 세 벡터 $x, x_1, x_2$와 실수 $k$에 대하여 다음 두 조건을 만족할 때 이 변환을 선형변환이라 한다.

1) $f(kx)=kf(x)$

2) $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$

 

2. 행렬변환

$f:x\to Ax$, $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$

이제 행렬변환이 선형변환임을 증명하겠다.

pf) $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$이고 행렬$A$가 2X2행렬일 때만 하겠다.

1) $f(kX)=A(kX)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}kx+a_{12}ky\\a_{21}kx+a_{22}ky\end{pmatrix}=k(AX)=kf(X)$

2) $f(X_1+X_2)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix})=AX_1+AX_2=f(X_1)+f(X_2)$

따라서 아래의 두 조건을 만족하므로 행렬변환을 선형변환이라 할 수 있다.

 

3. 대칭변환

$x$축 대칭 : $(x, y)\to (x, -y)$, $ \begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

$y$축 대칭 : $(x, y)\to (-x, y)$, $ \begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

$y=x$축 대칭 : $(x, y)\to (y, x)$, $ \begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

$y=-x$축 대칭 : $(x, y)\to (-y, -x)$, $ \begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

 

4. 회전변환

$X=(x, y)$라고 하자. 그리고 점$X$에서 $\theta$만큼 회전하는 점을 $w=(w_1, w_2)$라 하자.

그리고 $X$를 $w$로 회전시키는 변환이라 하여 회전변환이라 한다.

점 $X$를 극좌표계로 나타내면 $x=r\cos{\phi}, y=r\sin{\phi}$

점 $w$를 극좌표계로 나타내면

$w_1=r\cos(\theta+\phi)=r\cos{\theta}\sin{\phi}-r\sin{\theta}\cos{\phi}$

$w_2=r\sin(\theta+\phi)=r\sin{\theta}\cos{\phi}+r\cos{\theta}\sin{\phi}$

$w_1=x\cos{\theta}-y\sin{\theta}$

$w_2=x\sin{\theta}+y\cos{\theta}$

따라서 회전변환을 선형변환의 꼴로 나타낼 수 있다.

$\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\{\sin{\theta}}&\cos{\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

 

5. 선형변환 합성

$f:(x, y)\to (x', y')$로 바꾸는 행렬을 $A$라 하자.

$g:(x', y')\to (x'', y'')$로 바꾸는 행렬을 $B$라 하자.

$(g\bullet{f}):(x, y)\to (x'', y'')$로 두 선형변환을 합성할 수 있다. $$(g\bullet{f})(X)=(BA)X$$

 

6. 역변환

$f:(x, y)\to (x', y')$라 하고 앞의 변환을 행렬 $A$로 나타낸다. $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

역변환을 $f^{-1}$라 했을 때 이 역변환이 존재하기 위해서는 $\det(A)\ne{0}$

따라서 역변환을 이렇게 나타낼 수 있다. $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

 

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