기하학7 베지어 곡선 베지어 곡선이란 직선 위 일정한 속도로 움직일때 생기는 자취이다. 1차, 2차, 3차, ...로 점의 개수를 늘렸을 때 즉 베지어 곡선이 점 $n+1$개로 정의 될때 $n$차 베지어 곡선으로 정의 된다. 1) 1차 베지어 곡선 $0 2023. 8. 31. 삼각함수의 도형으로서의 따름정리 삼각함수를 이용하여 삼각형에서의 여러 정리들을 증명해보자. 이 글에서는 $a$, $b$, $c=$세 변의 길이 $A$, $B$, $C=$세 각의 크기 $S=$삼각형의 넓이 $s=$다각형 각 변 길이의 합의 절반$=\frac{a+b+c}{2}$ $R=$외접원의 반지름의 길이 $r=$내접원의 반지름의 길이 으로 사용하기로 약속한다. 먼저, 삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법을 알아보자. 1) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$ 2) $S=\frac{abc}{4R}$ 3) $S=sr$ 4) $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 이를 각각 증명해보자. pf) 1) 이와 같은 삼각형에서 점 $\rm A$에서 변 $\rm BC.. 2023. 8. 28. 원뿔곡선과 그 특별한 성질 이차곡선=원뿔곡선의 성질을 해석기하와 논증기하로 설명하겠다. 여기서 해석기하적 방법은 일반적으로 $y=4px^2$인 상황에서 증명한다. 기본공식) $y^2=4px$ (준선이 $x=-p$, 초점이 $(p, 0)$일 때) 1) 포물선 위의 점 $P(x_1, y_2)$에서의 접선의 방정식은 $y_1y=2p(x+x_1)$ pf) 직선을 $y=mx+n$으로 잡고 판별식과 $(x_1, y_1)$대입을 통해 구한다. 2)기울기가 m인 접선의 방정식은 $y=mx+\frac{p}{m}$ pf) $y=mx+n$으로 잡고 판별식으로 $n$을 소거하여 얻을 수 있다. 정리1) 초점이 $F$인 포물선 위의 한 점 $P$에서 준선에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때 $P$에서의 접선은 $\angle{FPH}$를 이등분한다. 해석.. 2023. 7. 25. 원뿔곡선과 이차곡선 1. 원뿔곡선 연장된 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생긴 곡선들로, 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다. 각각 다음과 같이 잘랐을 때 생성된다. 원: 원뿔의 밑면과 평행하게 잘랐을 때 타원: 원뿔의 밑면과 평행하지 않고 원뿔면보다 원뿔의 밑면에 대해 더 작은 각으로 잘랐을 때 포물선: 원뿔면과 평행하게 잘랐을 때 쌍곡선: 원뿔면보다 원뿔의 밑면에 대해 더 큰 각으로 잘랐을 때 2. 이차곡선 다음의 $x$,$y$에 대한 이차방정식의 형태로 표현되는 곡선이다. $$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F$$ (단, $A$~$C$는 상수이고, $A$, $B$, $C$ 중 적어도 하나는 0이 아니다.) 당연히 2차원 평면 위에서 정의된다. 2-1. 원뿔곡선들의 일반적 정의 원의 정의: 평면 위의 한 정점으로부.. 2023. 5. 16. 픽의 정리 픽의 정리는 격자점의 개수를 알고싶을 때 쓰이는 강력한 정리입니다. 오일러 지표를 사용하여 픽의 정리를 증명해봅시다. (글의 이해를 위해서는 그래프 이론의 기초 내용이 필요합니다.) 우선 픽의 정리를 오일러 지표로 증명하기 위해 다음 보조정리를 증명하고 갑시다. Lemma 임의의 꼭짓점이 모두 격자점 위에 있는 다각형을 도형 내부의 점과 변 위의 점을 통해 기본 삼각형으로 분할했을 때 생기는 변의 개수를 $e$, 처음 다각형의 내점 수를 $i$, 변 위의 점의 수를 $b$라고 하면 다음 식이 성립한다. $$e=3i+2b-3$$ (여기서 기본삼각형은 격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에 내점이 아예 존재하지 않는 삼각형으로, 넓이는 항상 $\dfrac{1}{2}$입니다. 한 가지 혼동을 방지하자면, 기본 .. 2022. 8. 20. 정십칠각형의 작도법 저번 글에서 $$\begin{eqnarray} && \cos\dfrac{2\pi}{17} \\&& =-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\sqrt{17}+\dfrac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\&& +\dfrac{1}{16}\sqrt{68+12\sqrt{17}+2(-1+\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\end{eqnarray}$$ 임을 구했다. 이제 이 수를 작도함으로써 정십칠각형을 작도해보자. 1. 임의의 원 $\mathrm{O}$을 그리고, 그 원의 반지름을 $1$로 잡자. 2. $O$의 서로 수직한 지름 $\overline{\mathrm{PQ}}$, $\overline{\mathrm{RS}}$을 .. 2022. 8. 18. 이전 1 2 다음
