원뿔곡선과 이차곡선

 

1. 원뿔곡선

연장된 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생긴 곡선들로, 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다. 각각 다음과 같이 잘랐을 때 생성된다.

원: 원뿔의 밑면과 평행하게 잘랐을 때

타원: 원뿔의 밑면과 평행하지 않고 원뿔면보다 원뿔의 밑면에 대해 더 작은 각으로 잘랐을 때

포물선: 원뿔면과 평행하게 잘랐을 때

쌍곡선: 원뿔면보다 원뿔의 밑면에 대해 더 큰 각으로 잘랐을 때

왼쪽부터 원, 타원, 포물선, 쌍곡선

2. 이차곡선

다음의 $x$,$y$에 대한 이차방정식의 형태로 표현되는 곡선이다.

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F$$

(단, $A$~$C$는 상수이고, $A$, $B$, $C$ 중 적어도 하나는 0이 아니다.)

당연히 2차원 평면 위에서 정의된다.

 

2-1. 원뿔곡선들의 일반적 정의

원의 정의: 평면 위의 한 정점으로부터 거리가 일정한 점들의 자취

타원의 정의: 평면 위의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 자취

포물선의 정의: 한 정점(초점)과 직선으로부터 떨어진 거리가 같은 점들의 자취(당연히 직선은 정점을 지나면 안됨)

쌍곡선의 정의: 두 정점으로부터 떨어진 거리의 차가 일정한 점들의 자취

 

3. 원뿔이 이차곡선임을 증명

이 증명법에 사용되는 것이 Dandelin sphere이다. 그림과 같이 원뿔면에 평행한 단면과 원뿔면과 단면에 동시에 접히는 구를 그리고, 구가 원뿔면에 접할 때 생기는 도형을 원 $C$라고 하자. (닮음으로 생각하면 밑면에 평행한 원임이 자명하다.) 원 $C$를 포함하는 평면과 단면의 교선이 생기는데, 이를 $l$이라고 하자. 점 $Q$는 점 $P$를 지나는 모선과 근의 교점으로, 정점이다.

pf 1) 구 밖의 한 점에서 그은 두 개의 접선이므로 $\overline{PQ}=\overline{PF}\cdots $①

$\overline{PH}$와 $\overline{PQ}$ 모두 모선에 평행하므로

$\angle QPR=\angle HPR$

$\therefore \triangle QPR = \triangle HPR$ (ASA 합동)

$\Rightarrow \overline{PQ}=\overline{PH}\cdots $②

①, ②에 의해 $\overline{PQ}=\overline{PF}=\overline{PH}$     $\blacksquare$

 

pf 2) 그림과 같이 점 $Q$를 추가로 잡는다. 이 때 점 $P$가 꼭 원판 위에 있도록 잡을 필요는 없다.

$\overline{PQ}=\overline{PF}\cdots $①

$\overline{QR}=\overline{PS}\cdots $②

$\overline{QR}=\overline{HP}\cdots $③ ($\because \square QRHP$는 평행사변형)

①, ②, ③에 의해 $\overline{PF}=\overline{PH}$이므로 포물선임이 증명 완료되었다.

 

4. 타원이 이차곡선임을 증명

그림과 같이 원뿔면보다 더 작은 각으로 원뿔을 자르고, 원뿔과 단면에 동시에 접하는 구를 위 아래로 그리자.

pf) $\overline{PF}+\overline{PF'}$가 일정함을 보이면 된다.

구 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이는 서로 같으므로

$\overline{PQ}=\overline{PF}\cdots $①

$\overline{QR}=\overline{PF'}\cdots $②

①, ②에 의해 $\overline{PF}+\overline{PF'}=\overline{PQ}+\overline{PR}=\overline{QR}$이므로 성립한다.

 

 

Exponential 17 이도헌 18 김대희