미적분학9 적분 1. 부분분수 적분 ex1) $\int\frac{5x-3}{x^2-2x-3}\,dx$ 이러한 적분을 하기 위해서는 다음과 같이 부분분수로 분해한다. $$\frac{5x-3}{x^2-2x-3}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3}=\frac{a(x-3)+b(x+1)}{(x+3)(x-3)}$$ 이때, $a$와 $b$는 연립방정식을 풀어 각각 $2$와 $3$임을 얻기 때문에 위의 적분을 다음식으로 나타낼 수 있다. $$\begin{aligned}\int\frac{5x-3}{x^2-2x-3}\,dx&=\int\frac{2}{x+1}\, dx+\int\frac{3}{x-3}\, dx\\&=2\ln{|x+1|}+3\ln{|x-3|}+C\end{aligned}$$ ex2) $\int\frac{6x+7}{.. 2023. 6. 6. 바이어슈트라스 함수의 연속성과 미분 가능성 바이어슈트라스 함수 바이어슈트라스 함수는 다음과 같이 정의한다. (단 $a$은 양의 홀수, $0 2023. 5. 30. 적분 1. 부정적분(Indefinite integral)의 정의 $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$ 일 때, $ \displaystyle\int \left[ \frac{d}{dx}F(x) \right] dx = F(x) + C = \displaystyle\int{ f(x) } dx$라고 한다. 2. 부정적분의 기본 성질 $F' (x)= f(x)$, $G'(x)=g(x)$이고 $\alpha$, $\beta$은 실수일 때, $\int [\alpha f(x) \pm \beta g(x) ] \, dx = \alpha \int f(x) \, dx \pm \beta \int g(x) \, dx$ 3. 부정적분의 기본 공식 증명은 적분이 미분의 역연산임을 이용하여 쉽게 할 수 있다. (1) $\displaystyl.. 2023. 3. 24. 미분 0. Barrow's differential triangle 예를 들어, 함수 $y=x^2$ 위의 두 점 $A(p,q)$, $B(p+a,q+b)$가 있다고 하자. 이때 두 점의 좌표에서 $$\begin{align} q & =p^2 \\ q+b & = p^2+2ap+a^2\end{align}$$이다. 따라서 $b=2ap+a^2$이다. $a$가 $0$에 수렴할 때, $a^2$은 $a$에 비해 매우 작으므로 $b=2ap$, 따라서 $$\frac{b}{a}=2p$$ 즉, 함수 $y=x^2$은 $x$좌표가 $p$인 점에서의 접선의 기울기가 $2p$임을 알 수 있다. 이와 같은 방법인 Barrow's differential triangle은 현재 미분의 바탕이 되었다고 할 수 있다. 1. 미분의 정의 어떤 함수에서.. 2023. 3. 20. 황금비 공식 1. $$\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$ 2. $$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}dx=2^{\frac{1-\sqrt5}{2}}$$ pf) $$\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}(1+x^\varphi)^{1-\varphi} & =\dfrac{\varphi(1-\varphi)x^{\varphi-1}}{(1+x^\varphi)^\varphi} \\ & =-\dfrac{x^{\varphi-1}}{(1+x^\varphi)^\varphi} \end{aligned}$$에서, $$\begin{aligned} & \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}dx .. 2022. 11. 7. 질-좋은 수학교육과정에 대한 논문 모음 1. 원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화 https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=JAKO200604623638660&dbt=NART [논문]원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화 본 논문에서는 학교수학에서 발견할 수 있는 순환논법의 예로서 고등학교 미분과 적분 교과서에서 정적분을 통해 원의 넓이를 구하는 과정에서 발견되는 순환논법을 수학적으로 분석하고, 학 scienceon.kisti.re.kr 미적분 교과서에는 원의 넓이를 $$2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}$$로 구합니다. 이 적분값을 구하는 과정에서 $\sin x$의 도함수가 $\cos x$임을 사용하게 됩니다. 이것은 $$\disp.. 2022. 11. 6. 이전 1 2 다음
