적분

 

 

1. 부정적분(Indefinite integral)의 정의
$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$ 일 때, $ \displaystyle\int \left[ \frac{d}{dx}F(x) \right] dx = F(x) + C = \displaystyle\int{ f(x) } dx$라고 한다.
 
2. 부정적분의 기본 성질
$F' (x)= f(x)$, $G'(x)=g(x)$이고 $\alpha$, $\beta$은 실수일 때, $\int [\alpha f(x) \pm \beta g(x) ] \, dx = \alpha \int f(x) \, dx \pm \beta \int g(x) \, dx$
 
3. 부정적분의 기본 공식
증명은 적분이 미분의 역연산임을 이용하여 쉽게 할 수 있다.
(1) $\displaystyle\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}+C$
(2) $\displaystyle\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
(3) $\displaystyle\int \sin x  \, dx = -\cos x +C$, $\displaystyle\int \cos x  \, dx = \sin x +C$
(4) $\displaystyle\int \sec^2 x  \, dx = \tan x +C$
(5) $\displaystyle\int \tan x  \, dx = -\ln | \cos x| +C$
(6) $\displaystyle\int \ln x  \, dx = -x\ln|x| -x + C$
 
4. 정적분
리만합은 $R_n\left(f\right) = \sum_{k=1}^n f(x_i^*) \triangle x_i$으로 정의한다. 이때 $n \to \infty$을 취하면, $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_i^*) \triangle x_i = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$ (단, $\ x_i^* \in \left[ x_i-1, x_i \right] $, $R_n(f)$가 존재할때만 성립)
 
5. 구분구적법
$\ x_k=a+k\triangle x=a+\frac{b-a}{n}k$라 하면, $$\begin{align} \int_{a}^{b} f(x)\, dx & = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_i^*) \triangle x_i \\ & =\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(a+\frac{b-a}{n}k)\frac{b-a}{n} \end{align}$$이다. $b-a$를 $p$라 하면 $$\int_{0}^{p} f(a+x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(a+\frac{p}{n}k) \frac{p}{n}$$
 
6. 정적분의 기본 성질
(1) $\int_{a}^{a} f(x)\, dx=0$
(2) $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = -\int_{b}^{a} f(x)\, dx$
(3) $\int_{a}^{b} k\, dx = (b-a)k$
(4) $\ |\int_{a}^{b} f(x)\, dx| = \int_{a}^{b} |f(x)|\, dx$
pf) $\ -|a| \leq a \leq|a|$을 이용하자.
$\ -|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|,  -| \int_{a}^{b} f(x)\, dx| \leq \int_{a}^{b} f(x) \leq | \int_{a}^{b} f(x)\, dx|$
따라서 $\ | \int_{a}^{b} f(x)\, dx| = \int_{a}^{b} |f(x)|\, dx$이 된다. 
(5) 적분의 코시 슈바르츠 부등식 : $\ \{\int_{a}^{b} f(x)g(x)\, dx\}^2 \leq (\int_{a}^{b} f(x)^2\, dx)(\int_{a}^{b} g(x)^2\, dx)$
pf) $\ \int_{a}^{b} (tf(x)-g(x))^2\, dx = t^2\int_{a}^{b} f(x)^2\, dx -2t\int_{a}^{b} f(x)g(x)\, dx + \int_{a}^{b} g(x)^2\, dx \geq 0$
위 식을 $t$에 대한 이차 방정식으로 볼 때 판별식이 0보다 작거나 같으므로 $\frac{D}{4} = \{\int_{a}^{b} f(x)g(x)\, dx\}^2 - (\int_{a}^{b} f(x)^2\, dx)(\int_{a}^{b} g(x)^2\, dx) \leq 0$ 따라서 $\ \{\int_{a}^{b} f(x)g(x)\, dx\}^2 \leq (\int_{a}^{b} f(x)^2\, dx)(\int_{a}^{b} g(x)^2\, dx)$이 성립하게 된다.
(6) $f(x)$가 우함수이면 $\int_{-a}^{a} f(x)\, dx= 2\int_{0}^{a} f(x)\, dx$
$f(x)$가 기함수이면 $\int_{-a}^{a} f(x) dx=0$
 
7. 치환적분 (합성함수 미분의 역연산)
$\int  f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + C$
: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$를 적분한 것으로 생각한다.
 
8. 부분적분 (곱함수미분의 역연산)
$\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$
: $\frac{d}{dx} f(x)g(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$를 적분한 것으로 생각한다.
 
9. 삼각치환
ex) $\int_{0}^{a} \sqrt{ a^2-x^2}\, dx$     ($\longleftarrow   x=asinθ(-\frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$)로 치환)
=  $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{ a^2-a^2sin^2θ}\, (acosθdθ) $
=  $\int_{0}^{\frac{π}{2}} acosθ acosθ,dθ $
=  $\int_{0}^{\frac{π}{2}} a^2cos^2θ,dθ $     ($\longleftarrow    cos^2θ= \frac{cos2θ+1}{2}$)
=  $a^2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{cos2θ+1}{2} ,dθ $
=  $a^2 θ[\frac{θ}{2} + \frac{sin2θ}{4}]^\frac{π}{2}_0$
=  $\frac{π}{4} a^2$
 
참조: $\sqrt{ a^2+x^2}$ 일때는 $x=atanθ(-\frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$),
 $\sqrt{ x^2-a^2}$ 일때는 $x=asecθ (0 \leq θ \leq \frac{π}{2},  π \leq θ \leq \frac{3π}{2}$) 으로 치환
 

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여러가지 적분 예제
1) $\int \sin^3x dx$
sol) $=\int \sin x(1-\cos^2x) dx$ ($t=\cos x$ 로 치환) $=\int 1-t^2 dt$
 
2) $\int \sin^4x \cos^3x dx$
sol) $=\int \sin^4x \cos x(1-\sin^2x)  dx$ ($t=\sin x$로 치환) $=\int t^4 (1-t^2)  dt$ 
 
3) $\int \tan^3x \sec^3x dx$

sol) $=\int \tan x(\sec^2x-1)\sec^3x dx$ ($t=\sec x$로 치환) $=\int (t^2-1)t^2 dt$
 
4) $\int \tan^4x \sec^6x dx$
= $\int tan^4x sec^2x (tan^2x+1)^2  dx$ ($\leftarrow   t=tanx$로 치환)
= $\int t^4 (t^2+1)^2 dt$
 

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