바이어슈트라스 함수
바이어슈트라스 함수는 다음과 같이 정의한다. (단 $a$은 양의 홀수, $0<b<1$, $ab>1+\frac {3}{2}\pi$)
$$f(x)= \sum_{k=0}^\infty b^k \cos(a^k\pi x)$$
이 함수는 신기하게도 실수 전체에서 연속이지만, 모든 점에서 미분 불가능하다. 이 글에서는 위의 조건을 만족하는 $a$와 $b$ 중 $a=21$, $b=\frac{1}{3}$인 다음 함수를 살펴볼 것이다.
$$f(x)= \sum_{k=0}^\infty \frac{\cos(21^k\pi x)}{3^k}$$
1. 연속성
보조정리 1 : $(a,b)$에서 연속인 함수를 $f_k$가 $f$로 균등수렴하면 $f$은 연속이다
보조정리 2 : (바이어슈트라스 M-판정법) 같은 정의역에서 $|f_k|≤M_k$인 $M_k$가 존재할때 $\sum_{k=0}^\infty M_k$이 수렴하면 $f_k$은 균등수렴한다.
두 보조정리를 이용하여 바이어슈트라스 함수가 실수 전체에서 연속함을 알아보자.
pf) 다음 자명한 부등식 $$\frac{\cos(21^k\pi x)}{3^k}≤\frac{1}{3^k}$$을 이용한다. 이때 보조정리 2(바이어슈트라스 M-판정법)에서 $f_k$은 균등 수렴하고, 보조정리 1에 의하여 바이어슈트라스 함수인 $f$은 연속이게 된다.
2. 미분 가능성
보조정리 1 : $\frac{\cos(a+b)π - \cos aπ}{b}≤π$
pf) 평균값 정리를 이용한다. 함수 $f(x)$을 $f(x)=\cos\pi x$로 정의하고 평균값 정리 $$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f^\prime(c)$$을 이용하면, $$\frac{\cos(a+b)π - \cos aπ}{(a+b)-a}=|-π \sin πx|≤π$$을 얻을 수 있다.
이 보조 정리를 이용하여 바이어슈트라스가 실수 전체에서 미분 불가능함을 보일 것이다.
양함수열($h_m$)
$h_m = \frac{1-ε_m}{21^m}$
$2l^m r$에 가장 가까운 정수를 $α_m$, $α_m - \frac{1}{2}< 21^m r< α_m+\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}<21^mr-α_m=ε_m<\frac{1}{2}, \frac{1}{2}<1-ε_m<\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2×21^m}<\frac{1-ε_m}{21^m}<\frac{3}{2×21^m}$
$\lim_{m \to ∞} \frac{1-ε_m}{21^m}=\lim_{m \to ∞} h_m=0$
$|\frac{f(r+h_m)-f(r)}{h_m}|=|\frac{\sum_{k=0}^∞ \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^k}}{h_m}|$
=$|\sum_{k=0}^{m-1} \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}+\sum_{k=m}^\infty \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|$
≤$|\sum_{k=0}^{m-1} \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|+|\sum_{k=m}^\infty \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|$
1)$|\sum_{k=0}^{m-1} \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|$
보조정리에서 $|\frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|=|\frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{21^kh_m}|×7^k≤π7^k$
$|\sum_{k=0}^{m-1} \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^k h_m}|≤ π \frac{7^m-1}{7-1}=\frac{π(7^m-1)}{6}<\frac{π}{6}7^m$
2) $|\sum_{k=m}^\infty \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|$
(A) k≥m
$21^kπ(r+h_m)= 21^{k-m}π(21^mr+21^mh_m)=21^{k-m}π(α_m +ε_m+1-ε_m)=21^{k-m}π(α_m+1)$
$cos(21^kπ(r+h_m))=cos(21^{k-m}π(21^mr))=(-1)^{α_m+1}$
(B) $k≥m$
$21^kπr =21^{k-m}π(21^mr)=21^{k-m}π(α_m +ε_m)$
$cos(21^kπr)=cos(21^{k-m}π(α_m +ε_m))$
=$cos(21^{k-m}πα_m)×cos(21^{k-m}πε_m) - sin(21^{k-m}πα_m)×sin(21^{k-m}πε_m)$
=$(-1)^{α_m}cos(21^{k-m}πε_m)$
(C)
$1+cos(21^{k-m})πε_m≥0 (-1≤cos x≤1)$
(D)
$cos(πε_m)>0 (-\frac{1}{2}<ε_m<\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}π<πε_m<\frac{1}{2}π)$
$$|\sum_{k=m}^\infty \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}| = |\sum_{k=m}^\infty \frac{(-1)^{α_m+1}-(-1)^{α_m}(cos(21^{k-m}πε_m))}{3^kh_m}|$$
$$=|\sum_{k=m}^\infty \frac{(-1)^{α_m+1}+(-1)^{α_m+1}(cos(21^{k-m}πε_m))}{3^kh_m}|$$
$$=|\sum_{k=m}^\infty \frac{(-1)^{α_m+1}(1+cos(21^{k-m}πε_m))}{3^kh_m}|$$
$$=|\frac{(-1)^{α_m+1}}{h_m}| × |\sum_{k=m}^\infty \frac{1+cos(21^{k-m}πε_m)}{3^k}|$$
$$=\frac{1}{h_m}\sum_{k=m}^\infty \frac{|1+cos(21^{k-m}πε_m)|}{3^k}$$
$$>\frac{1}{h_m}\frac{|1+cosπε_m|}{3^m}>\frac{1}{h_m} × \frac{1}{3^m}$$
이때 $\frac{1}{21^m}(\frac{1}{2})<\frac{1-ε_m}{21^m}=h_m<\frac{1}{21^m}(\frac{3}{2})$
그러니 $\frac{1}{h_m} > \frac{2}{3}21^m$
이를 위 부등식에 대입하면 $\frac{1}{h_m} × \frac{1}{3^m}>\frac{2}{3} 21^m × \frac{1}{3^m}=\frac{2}{3}7^m$
$$∴ \frac{f(k+h_m)-f(k)}{h_m}= \sum_{k=0}^{m-1} \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}+\sum_{k=m}^\infty \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}$$
$$\frac{2}{3}7^m<|\frac{f(r+h_m)-f(r)}{h_m}-\sum_{k=0}^{m-1} \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|$$
$$<|\frac{f(r+h_m)-f(r)}{h_m}|+|\sum_{k=0}^{m-1} \frac{cos(21^kπ(r+h_m))-cos(21^kπ)}{3^kh_m}|$$
$$<|\frac{f(r+h_m)-f(r)}{h_m}|+\frac{π}{6}7^m$$
$$|\frac{f(r+h_m)-f(r)}{h_m}|>\frac{2}{3}7^m-\frac{π}{6}7^m=7^m(\frac{2}{3}-\frac{π}{6})$$
$$\lim_{m \to \infty}|\frac{f(r+h_m)-f(r)}{h_m}|= \infty$$
$$\lim_{h_m \to 0}|\frac{f(r+h_m)-f(r)}{h_m}|= \infty$$
Exponential 17 노강민, 18 김은서
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