곡률과 법선 벡터

* 공간곡선(space curve)

$ f, g, h $가 구간 $I$에서 연속인 실숫값 함수일 때, $t$가 구간 $ I $ 전체에서 변한다고 하면, 

$ x = f(t) $, $ y = g(t) $, $ z=h(t) $를 만족하는 모든 점 $ (x, y, z) $의 집합 $ C $을 공간곡선이라 한다.

 * $ C $의 매개변수방정식: $ x = f(t) $, $ y = g(t) $, $ z=h(t) $

 * $ t $: 매개변수(parameter), $ t $를 시각 또는 시간으로 생각하면 시간에 따라 공간곡선 $ C $가 그려지는 것으로 생각.

 * 벡터함수 $ \textbf{r}(t) = f(t)\textbf{i} + g(t) \textbf{j} + h(t) \textbf{k} $ $ = (f(t), $ $ g(t), $ $ h(t)) $는 벡터 $\textbf{r}(t)$ 의 종점의 집합, 즉 공간곡선 $ C $를 정의. ( $\textbf{i}$, $\textbf{j}$, $\textbf{k}$ 는 각각 $x,$ $y,$ $z$축 방향의 단위벡터(unit vector))

 

* 접선 벡터(tangent vector)

 $ \textbf{v}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\textbf{r}(t+h) - \textbf{r}(t)}{h} $

 * 접선(tangent line): $ C $ 위의 점 $ P $의 위치벡터가 $ \textbf{r}(t) $라면, $ P $를 지나면서 $ \textbf{r}'(t) $에 평행한 직선($ C $에 대한 $ P $에서의 접선)

 * 단위접선벡터(unit tangent vector): 접선벡터와 방향이 같은 단위 벡터. 즉, 단위 접선 벡터는 

$$ \textbf{u}(t) = \frac{\textbf{r}'(t)}{\vert {\textbf{r}'(t)} \vert} $$

 

* 공간곡선의 길이

 시각 $ t = a $부터 $ t = b $까지 점 $ (x, y, z) $가 그린 공간곡선의 길이는 아래와 같이 구할 수 있다. $ \Delta $

 * 미소길이는 $ ds = \lim_{\Delta t \to 0} (\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}) $

$ = \lim_{\Delta t \to 0} (\sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{ \Delta y}{ \Delta t})^2+ (\frac{ \Delta z}{ \Delta t})^2}) $

$ = \lim_{\Delta t \to 0}  \sqrt{ (\frac{\Delta x}{\Delta t})^{2}+ (\frac{\Delta y}{\Delta t})^{2}+ (\frac{\Delta z}{\Delta t})^{2}} \Delta t $

따라서, 공간곡선의 길이는 아래와 같다.

 * $ s = \int_{a}^{b} \sqrt{(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}} dt $

$ = \int_{a}^{b} \sqrt{\mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{r}'(t)} dt $

$ \left( \because \mathbf{r}'(t) = \frac{d \mathbf{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ x \textbf{i} + y \textbf{j} + z \textbf{k} \right] = \frac{d}{dt} \left[ x \textbf{i} \right] + \frac{d}{dt} \left[ y \textbf{j} \right] + \frac{d}{dt} \left[ z \textbf{k} \right] = \frac{dx}{dt} \textbf{i} + \frac{dy}{dt} \textbf{j} + \frac{dz}{dt} \textbf{k} \right) $

 

* 곡률(curvature): 매끄러운 함수(smooth function, 무한번 미분가능한 함수)의 단위 접선 벡터를 $ \textbf{T} $라 할 때, $ \kappa = \left| \frac{d\textbf{T}}{ds} \right| $로 정의. $ s $는 앞서 쓰인대로 곡선의 길이를 의미함. 곡률은 곡선 또는 곡면의 휜 정도를 표현함.

 * 반지름의 길이가 $ R $인 원의 곡률: 각속도의 크기를 $ \omega = v/R $라 하고, 각거리를 $ \theta $라 하자. 반시계방향으로 운동하는 물체를 고려하면, $ \kappa = \frac{d \theta}{Rd \theta} = \frac{1}{R}. $

 * 한편, 원 같은 특수한 곡선이 아니라면, 위 정의  $ \kappa = \left| \frac{d\textbf{T}}{ds} \right| $로부터 직접 곡률을 구하기 어려움.

 * Chain rule을 이용하면 아래와 같이 비교적 쉬운 식으로 곡률을 표현할 수 있음. ($ t $와 $ \textbf{v} $ 각각 시간, 속도로 생각)

$$ \kappa = \left| \frac{d\textbf{T}}{ds} \right| = \frac{dt}{ds} \left| \frac{d\textbf{T}}{dt} \right| = \frac{1}{\left| \textbf{v} \right|} \left| \frac{d\textbf{T}}{dt} \right| $$

* 주법선단위벡터(principal unit normal vector): $ \textbf{N}(t) = \frac{\textbf{T}'(t)}{\left| \textbf{T}'(t) \right|} $

 * $ \textbf{N}(t) $와 $ \textbf{T}(t) $는 수직을 이룸.

 $ pf) $ $ \frac{d}{dt} \textbf{T}(t) \cdot \textbf{T}(t) = 2 \textbf{T}(t) \cdot \textbf{T}'(t) $ ($ \because $ 벡터의 곱미분 공식과 내적에서 교환법칙이 성립)

 한편, $ \textbf{T}(t) $는 단위벡터, $ \textbf{T}(t) \cdot \textbf{T}(t) =  \left| \textbf{T}(t) \right| ^ {2} = 1 $

 $ \therefore \textbf{T}(t) \perp \textbf{N}(t) $

$ \blacksquare $

 * 곡선이 어떤 평면 $ \alpha $ 상에 있다면, 정의에 의해 $ \textbf{N}(t) $ 또한 $ \alpha $ 상의 벡터.

 * 곡률이 영($ 0 $)이 아니면,

$$ \textbf{N}(t) = \frac{\textbf{T}'(t)}{ \left| \textbf{T}'(t) \right| } = \frac{d \textbf{T}/ds}{\left| d \textbf{T}/ds \right| } = \frac{1}{\kappa} \frac{d \textbf{T}}{ds} $$

 * 곡률원(circle of curvature): 곡선 위 한 점에서 1) 곡선에 접하며, 2) 곡선의 접점에서와 같은 곡률을 가지면서, 3) 곡선의 안쪽으로 위치하는, 곡선과 같은 평면 위의 원.

 * 곡률 반지름: 곡선 위 한 점에서의 곡률원의 반지름으로, $ \rho $로 나타냄. 앞서 구한 원의 곡률식을 이용하면, 곡률 반지름은 아래와 같음을 얻음.

$$ \rho = \frac{1}{\kappa} $$

* 곡률을 수월하게 계산하기 위해 시각 $ t $에 따라 곡선을 따라 물체가 운동한다고 생각하는데, 반대로 물리학에서 물체의 운동을 극좌표로 분석할때 시간에 따른 속도와 가속도를 얻는 과정은 근본적으로 이번 글의 단위접선벡터와 주단위법선벡터 내용과 같다.

 

 

19기 Exponential 전건하  &

 20기 Exponential 박지훈