발산 정리는 수학적으로 유도되는 공식이지만 물리학에서도 자주 사용되는 중요한 적분 공식들 중 하나입니다. 우선 발산 정리의 증명에 대해 알아보기 전에 먼저 Divergence의 수학적 의미에 대해서 알아보고 가도록 하겠습니다.
벡터장((\text{Vector Field}))
토마스 미분적분학에 나와있는 벡터장의 정의는 다음과 같습니다.
위에서 말하는 바에 따르면 움직이는 유체에 의해 점유된 평면 혹은 공간이 있다고 가정했을 때 그 유체는 무수히 많은 입자들로 구성되어 있습니다. 각각의 입자는 v라는 속도를 가지고 있고 그 속도들은 변할 수 있습니다. 이러한 유체의 흐름을 벡터장의 예로 들수 있습니다. 쉽게 말하자면 기존의 스칼라 함수와는 달리 각각의 좌표에 대응되는 것이 벡터라는 점이라는 것입니다.
(\text{Divergence})
다음으로 Divergence의 의미를 알아보겠습니다.
Divergence는 물리학에서도 많이 등장하는 만큼 알고 있으면 물리 현상들을 심도있게 이해하는데 도움이 됩니다. Divergence는 벡터함수에 취하는 연산으로 스칼라 함수에 취하는 그래디언트(Gradient)와는 차이가 있습니다. 위 그림은 그래디언트를 나타낸 그림으로 일정한 값을 가지는 함수의 표면에 있는 그래디언트 벡터들을 모두 나타낸 것입니다. 각각의 벡터는 면과 수직입니다.
다시 본론으로 돌아와서 Divergence라는 값은 앞서 말했듯이 벡터함수에 취하는 연산자입니다. Divergence를 직관적으로 이해하기 위해서는 이 연산자를 flux density와 연관지어서 생각할 수 있는데 그 관계를 이제부터 밑에서 유도해보도록 하겠습니다.
위와 같은 직사각형 구역이 있다고 해봅시다. 이 벡터장은 다음과 같이 주어집니다.
$F\left ( x,y \right )=M\left ( x,y \right )\textit{i}+N\left ( x,y \right )\mathit{j}$
이때 주어진 그림에서 보이는 $\Delta x$와 $\Delta y$가 매우 작다고 생각한다면 주어진 면적을 통과하는 flux를 다음과 같이 네 면에 대해 나타낼 수 있습니다.
Top : $F\left ( x,y+\Delta y \right )\cdot \mathit{j}\Delta x=N\left ( x,y+\Delta y \right )\Delta x$
Bottom : $F\left ( x,y \right )\cdot (-\mathit{j})\Delta x=-N(x,y)\Delta x$
Right : $F(x+\Delta x,y)\cdot \mathit{i}\Delta y=M(x+\Delta x,y)\Delta y$
Left : $F(x,y)\cdot (\textit{-i})\Delta y=-M(x,y)\Delta y$
반대쪽에 있는 쌍끼리 더하면 아래의 결과를 얻을 수 있습니다.
Top and Bottom : $(N(x,y+\Delta y)-N(x,y))\Delta x\approx (\frac{\partial N}{\partial y}\Delta y)\Delta x$
Right and Left : $(M(x+\Delta x,y)-M(x,y))\Delta y\approx (\frac{\partial M}{\partial N}\Delta x)\Delta y$
위의 과정을 통해서 직사각형 경계 내부를 통과하는 flux를 계산하였습니다.
Flux acroos rectangle boundary $\approx \left ( \frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y} \right )\Delta x\Delta y$
이 값을 면적으로 나누면 flux density를 얻을 수 있습니다. 나눠보면 최종적으로 구한 flux density는 다음과 같습니다.
Flux density $= \frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}$
위에서 함수 F가 다음과 같이 주어졌으므로
$F\left ( x,y \right )=M\left ( x,y \right )\textit{i}+N\left ( x,y \right )\mathit{j}$
위의 식은 그래디언트와 F함수의 내적이라는 것을 알 수 있고 이를 식으로 표현하면 다음과 같습니다.
div $F = \triangledown F = \frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}$
(\text{발산 정리 증명})
위에서 알아본 Divergence의 의미를 토대로 발산 정리를 증명해보도록 하겠습니다. 토마스 미분적분학과는 다른 방식으로 증명하였습니다.
우선 발산 정리는 다음과 같습니다.
\[ \iiint_V (\nabla \cdot \vec{u})\, dV = \oint_{S} \vec{u} \cdot \hat{n} \, dS \]
여기에서 V는 부피, S는 폐곡면을 의미합니다. 원래 이중 폐곡면 적분으로 표현하고 싶었으나 수식 입력기에 폐곡선 적분 밖에 없어서 폐곡선 적분으로 밖에 표현하지 못하였습니다.
발산 정리를 증명하기 위해 부피를 \textit{i}번 쪼개서 각각을 $\delta V_{i}$라고 합니다. 또한 쪼갠 부피를 둘러싼 폐곡면을 $\delta S_{i}$라고 합니다. 이때 미소 부피를 통과하는 flux density는 다이버전스로 계산할 수 있고 이는 폐곡면에 대해 벡터장을 내적하여 더한 후 부피로 나눈것과 같습니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$ \triangledown \cdot \overrightarrow{u}\approx \frac{1}{\delta V_{i}}\oint_{\delta S_{i}}^{}\overrightarrow{u}\cdot \widehat{n} dS $$
이때 양변에 $\delta V_{i}$를 곱한후 모두 더합니다.
$$\sum_{i}^{}\triangledown \cdot \overrightarrow{u}\approx \sum_{i}^{}\frac{1}{\delta V_{i}}\oint_{\delta S_{i}}^{}\overrightarrow{u}\cdot \widehat{n} dS$$ 양변에 각각 극한을 취해주면 양변을 적분의 형태로 바꿀 수 있습니다.
좌변 = $\displaystyle \lim_{\delta V_{i} \to 0}\sum_{i}^{}\triangledown \cdot \overrightarrow{u}=\iiint(\triangledown \cdot \overrightarrow{u})dV$
우변 = $\displaystyle \lim_{\delta V_{i} \to 0}\sum_{i}^{}\oint_{\delta S_{i}}^{}\overrightarrow{u}\cdot \widehat{n}dS=\displaystyle \lim_{ \delta V_{i}\to 0}\oint_{ S}^{}\overrightarrow{u}\cdot \widehat{n}dS=\oint_{S}^{}\overrightarrow{u}\cdot \widehat{n}dS$
따라서 최종적으로 식을 정리해보면 발산 정리를 증명할 수 있습니다.
$$\therefore \iiint_{V} \triangledown \cdot \overrightarrow{u}dV=\oint_{S}^{}\overrightarrow{u}\cdot \widehat{n}dS$$
20기 EXPONENTIAL 강현준
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