미분

 

0. Barrow's differential triangle

예를 들어, 함수 $y=x^2$ 위의 두 점 $A(p,q)$, $B(p+a,q+b)$가 있다고 하자. 이때 두 점의 좌표에서

$$\begin{align} q & =p^2 \\ q+b & = p^2+2ap+a^2\end{align}$$이다. 따라서 $b=2ap+a^2$이다. $a$가 $0$에 수렴할 때, $a^2$은 $a$에 비해 매우 작으므로 $b=2ap$, 따라서 $$\frac{b}{a}=2p$$

즉, 함수 $y=x^2$은 $x$좌표가 $p$인 점에서의 접선의 기울기가 $2p$임을 알 수 있다. 이와 같은 방법인 Barrow's differential triangle은 현재 미분의 바탕이 되었다고 할 수 있다.

 

1. 미분의 정의

어떤 함수에서 접선은 할선의 극한으로 정의된다. 함수 $f(x)$ 위의 두 점 $(a,f(a))$, $(a+h,f(a+h))$에 대하여

(두 점을 지나는 직선의 기울기)$=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

(접선의 기울기)$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

이게 된다. 이때 접선의 기울기를 $x=a$에서의 미분계수, $f'(a)$라고 한다. 이러한 $f'(x)$을 $f(x)$의 도함수라 한다. 즉 이 도함수의 정의는 $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$이다.

 

2. 미분가능성

미분 가능한 함수 $f$은 연속이다.

pf) 도함수의 정의에서

$$\begin{align} \lim_{x \to a} \left\{ f(x)-f(a) \right\} & = \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times (x-a) \\ & = f'(a) \times 0 =0 \end{align}$$이다.   $\blacksquare$

 

3. 거듭제곱 함수

자연수 $n$에 대하여 $\frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}$이다.

pf) 도함수의 정의에서 $$\begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} & =\displaystyle \lim_{h \to 0}=\frac{x^n+nhx^{n-1}+\cdots+h^n-x^n}{h} \\ & = nx^{n-1} \end{align}$$이다.   $\blacksquare$

 

4. 곱함수의 미분법

미분 가능한 두 함수 $f$, $g$에 대하여 $\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$이다.

pf) 도함수의 정의에서

$$ \begin{align} & \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)\left\{g(x+h)-g(x) \right\}+g(x)\left\{ f(x+h)-f(x)\right\}}{h} \\ & =f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \end{align} $$이다.   $\blacksquare$

 

5. 몫의 미분법

미분 가능한 두 함수 $f$, $g$에 대하여 $g \ne 0$일 때, $\frac{d}{dx}\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x) \right\}^{2}}$

pf 1) 도함수의 정의에서 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-f(x+h)\left\{-g(x)+g(x+h) \right\}+g(x+h)\left\{-f(x)+f(x+h) \right\}}{hg(x+h)g(x)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^{2}(x)}$    $\blacksquare$

 

pf 2) $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$라고 하자. $f(x)=h(x)g(x)$에서, 앞에서 증명한 곱함수의 미분법에 의하여 $f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x)$이게 된다. 따라서 $h'=\frac{f'-hg'}{g}=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$이게 된다.   $\blacksquare$

 

6. 삼각함수의 합 또는 차와 곱의 변환

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta & =\frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha +\beta)+\sin (\alpha-\beta) \right\} \\ \cos\alpha\sin\beta & = \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha +\beta) - \sin(\alpha-\beta) \right\} \\ \cos\alpha\cos\beta & =\frac{1}{2} \left\{ \cos(\alpha +\beta)+\cos(\alpha-\beta) \right\} \\ \sin\alpha\sin\beta & =- \frac{1}{2} \left\{ \cos(\alpha +\beta)-\cos(\alpha-\beta) \right\}  \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \sin A+ \sin B &= 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\ \sin A-\sin B & = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\ \cos A+\cos B & = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\ \cos A-\cos B & =-2\sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} \end{aligned}$$

 

7. 삼각함수의 도함수

$$\begin{aligned} \left( \sin x \right)' & = \cos x \\ \left( \cos x \right)' & = -\sin x \\ \left(\tan x \right) ' & = \sec^2x \\ \left(\sec x\right)' & = \sec x \tan x \\ \left(\csc x \right)' & = -\csc x \cot x \\ \left(\cot x\right)' & = -\csc^2x \end{aligned} $$

 

8. 중요한 극한

$$\begin{align} & \lim_{\theta\to 0}\frac{\mathrm{sin}\theta}{\theta} =1 \\ & \lim_{\theta\to 0}\frac{\mathrm{cos}\theta-1}{\theta} =0 \\ & \lim_{\theta\to 0}\frac{\mathrm{cos}\theta-1}{\theta^{2}} =-\frac{1}{2} \end{align}$$

 

9. 연쇄법칙

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

pf) $f(g(x))$에서 $g(x)=u$라고 하고 $y=f(u)$라고 하자. $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$에서 $g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta u$이다. 따라서 $\Delta y=f(g(x+\Delta x))-f(g(x))=f(u+\Delta u)-f(u)$이므로 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\times \frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\times \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$

$\Delta x\to 0$, $\Delta u\to 0$으로 수렴할 때,

$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\bullet \displaystyle \lim_{\Delta u \to 0}\frac{g(u+\Delta u)-g(u)}{\Delta u}$

$=g'(x)\times f'(u)$

$=g'(x)\times f'(g(x))$     $\blacksquare$

 

10. n계도함수

$f'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

$f''(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$

$f'''(x)=\frac{\mathrm{d}^{3}y }{\mathrm{d} x^{3}}$

$\vdots$

$f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^{n}y }{\mathrm{d} x^{n}}$

Exponential 17 노강민 18 김대희