해석학5 연속함수 1. 연속함수 (Continous Functions) 실수치 함수 f가 a에서 연속이라 함은 $x\to a$일 때 $f(x)\to f(a)$임을 말한다. 더 정확히 정의하자면 다음과 같다. 1) $f(a)$이 정의되고 2) $\lim_{x\to a} f(x)$이 존재하고 3) $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$을 만족할 때 함수 $f$가 구간 $D$(정의역 Domain에서 따옴)에서 연속이라 함은 $D$의 모든 점에서 연속임을 말한다. $f$가 $a$에서 연속인 것과 $a$로 수렴하는 임의의 수열 ${x_n}$이 있을 때, 이 수열 ${f(x_n)}$이 $f(a)$로 수렴한다는 것은 필요충분조건이다. 이것은 어떤 점에서 함수가 불연속임을 증명할 때 잘 사용된다. ex) $f(x)=\begin{.. 2023. 6. 15. 실수의 완비성 공리 정의 $S$가 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자 (a) 모든 $s\in{S}$에 대하여 $s\le{u}$가 되는 수 $u\in{\mathbb{R}}$가 존재하면, 집합$S$는 위로 유계라고 한다. 그리고그러한수 $u$를 $S$의 상계(upper bound)라 한다. (b) 모든 $s\in{S}$에 대하여 $u\le{s}$가 되는 수 $w\in{\mathbb{R}}$가 존재하면, 집합$S$는 아래로 유계라 한다. 그리고, 그러한수 $w$를 $S$의 하계(lower bound)라 한다. (c) 한 집합이 위로 유계이고 아래로 유계일 때 이 집합을 유계라고 한다. 정의 $S$를 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자 (a) $S$가 위로 유계일 때, 다음 조건을 만족하.. 2023. 5. 21. 바이어슈트라스 근사 정리 이번 포스팅에서는 바이어슈트라스 근사 정리를 증명해볼 것이다. (사실 너무 과하다 싶을 정도로 본문에 자세하게 설명하였다..) 바이어슈트라스 근사 정리 $f$가 $[a,b]$에서 연속인 복소함수라고 하면 $[a,b]$에서 함수 $f$로 균등수렴(Uniform Convergence)하는 다항함수열 $P_n$가 존재한다. 특히, $f$가 실함수이면 $P_n$도 실함수이다. 증명 일반성을 잃지 않고 $[a,b]=[0,1]$, $f(0)=f(1)=0$이라 가정할 수 있다. 첫 번째 가정은 원래함수를 $x$축 방향으로 $\frac{1}{b-a}$배 축소한 뒤에 이 함수로 균등수렴하는 다항함수열 $P_n$을 구하고 이 $P_n$을 $x$축 방향으로 $b-a$배 확대해도 상관없기 때문에 가능하다. 두 번째 가정의 경.. 2022. 9. 8. 코시 수열 코시 수열의 필요성 아마 독자분들은 엡실론-N 논법이 어떤 수열의 극한값을 찾기 위해 사용되는 것이 아니라는 것을 알고 있을 것이다. 그것은 수열이 어떤 값으로 수렴한다고 추정했을 때 그 값으로 수렴하는지 증명하는데 사용된다. 이러한 방식은 단점을 가지고 있는데, 수열이 어떤 값으로 수렴하는지 추측해야만 수열의 수렴성을 보일 수 있다는 것이다. 코시 수열을 이용하면 극한값을 모르고도 수렴성을 보일 수 있다. 코시 수열의 정의 $$\forall \epsilon >0,\, \exists\,H \in N\ s.t. \, n,m \ge H\ \Rightarrow \left|{x_n-x_m}\right|0,\ \exists \ K\in N\ s.t.\ n\ge K\ \Rightarrow \ \left|{x_n-x.. 2022. 8. 24. 삼각함수의 해석적 연속 해석적 연속 해석적 연속 또는 해석적 확장이란, 복소해석학을 매게로 기존의 함수의 치역을 유지한 채 정의역을 더 넓은 범위로 확장하는 것을 말한다. 글에서 다루는 삼각함수 외에도 지수함수도 정의역을 자연수에서 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장해 나간다. 삼각비 정의역 : $(0,\frac{\pi}{2})$ $\angle B$가 직각인 직각삼각형 $ABC$에서 삼각비들을 다음과 같이 정의한다. $$\begin{aligned} \sin A & =\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \\ \cos A & =\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \\ \tan A & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \csc A & =\dfrac{\m.. 2022. 8. 7. 이전 1 다음
