실수의 완비성 공리

정의
$S$가 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자
(a) 모든 $s\in{S}$에 대하여 $s\le{u}$가 되는 수 $u\in{\mathbb{R}}$가 존재하면, 집합$S$는 위로 유계라고 한다. 그리고그러한수 $u$를 $S$의 상계(upper bound)라 한다.
(b) 모든 $s\in{S}$에 대하여 $u\le{s}$가 되는 수 $w\in{\mathbb{R}}$가 존재하면, 집합$S$는 아래로 유계라 한다. 그리고, 그러한수 $w$를 $S$의 하계(lower bound)라 한다.
(c) 한 집합이 위로 유계이고 아래로 유계일 때 이 집합을 유계라고 한다.
 
정의
$S$를 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자
(a) $S$가 위로 유계일 때, 다음 조건을 만족하는 수 $u$를 $S$의 상한(supremum) 또는 최소 상계(least upper bound)라 한다.
 1) $u$는 $S$의 상계이다.
 2) $v$가 $S$의 임의의 상계이면 $u\le{v}$이다.
(b) $S$가 아래로 유계일 때, 다음 조건을 만족하는 수 $w$를 $S$의 하한(infimum) 또는 최대 하계(greatest lower bound)라 한다.
 1) $w$가 $S$의 하계이다.
 2) $t$가 $S$의 임의의 하계이면 $t\le{w}$이다.
따라서 상한은 최댓값을 일반화한것이고 하한은 최솟값을 일반화한것이다.
다음은 상한에 관한 성질이다.($u$는 $S$의 상한이다.)
 1) $v$가 $S$의 임의의 상계이면 $u\le{v}$이다.
 2) $z<u$이면, $z$는 $S$의 상계가 아니다.
 3) $z<u$이면, $z<{s_z}$인 ${s_z}\in{S}$
 4) $\epsilon>0$이면 $u-{\epsilon}<s_{\epsilon}$인 ${s_{\epsilon}}\in{S}$이 존재한다.
 
실수의 완비성 공리
공집합이 아니고 위로 유계인 (실수 집합의)부분 집합은 항상 상한(하한)을 가진다.
상한 공리(하한 공리)
-단조 수렴 정리
-축소구간 정리
실수체계 구성
데데킨트 절단
Step 1. $\mathbb{R}$의 원소를 $Q$의 특정한 부분집합(cut)으로 정의한다.
cut은 $\alpha\subset{Q}$인 집합을 의미하고 다음 조건을 만족해야 한다.
1)$\alpha$는 공집합이 아니고 $\alpha\ne{Q}$이다.
2)만약 $p\in{\alpha}$,$q\in{Q}$이고 $q<p$이면 $q\in\alpha$이다.
3)만약 $p\in\alpha$이면 $r\in\alpha$인 $r$에 대해 $p<r$이다.
$p, q, r, ...$등은 항상 유리수를 의미하고 ${\alpha}, {\beta}, {\gamma}$는 cut을 의미한다.
Step 2. 순서를 정의
$\alpha\subset\beta$ : $\alpha$는 $\beta$의 진부분집합
1)$\alpha\subset\beta$이고 $\beta\subset\gamma$이면 $\alpha\subset\gamma$이다.
2)$\alpha\subset\beta$, $\alpha=\beta$, $\beta\subset\alpha$중 하나는 성립한다.
Step 3. $\mathbb{R}$이 상한 공리를 가짐을 보이자
$A$가 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합
$\beta\in{\mathbb{R}}$은 $A$의 상계이다.
$\gamma$는 모든 $\alpha\in{A}$의 합집합이다.
$r\in{\mathbb{R}}$이고 $r=supA$이다.
$A$가 공집합이 아니므로 ${\alpha}_0\in{A}$가 존재한다.
${\alpha}_0$는 공집합이 아니고 ${\alpha}_0\in\gamma$이므로 $\gamma$는 공집합이 아니다.
$\gamma\subset\beta$(모든 $\alpha\in{A}$에 대해 $\alpha\subset\beta$)$\gamma\ne{Q}$, $p\in\gamma$ ${\alpha}_1\in{A}$인 어떤 ${\alpha}_1$에 대해 $p\in{{\alpha}_1}$, $q<p$이면 $q\in{{\alpha}_1}$이고 따라서 $q\in\gamma$, $r>p$인 $r\in{{\alpha}_1}$이 존재하고 $r\in\gamma$
$\therefore\gamma=\mathbb{R}$
모든 $\alpha\in{A}$에 대해 $\alpha\le{r}$ : $r$ : 상계
$\delta\subset\gamma$라 하자. $s\in\gamma$이고 $s\not\in\delta$인 $s$존재($\delta$가 $\gamma$의 진부분집합이기 때문)
$s\in\gamma$이므로 어떤 $\alpha\in{A}$에 대해 $s\in\alpha$
$s<\alpha$ : $s$는 $A$의 상계가 아니다.
$\therefore{r=supA}$
이후 체공리까지 증명하면 우리가 만든 실수가 완비 순서체라는 것을 알 수 있다.
실수를 구성하는 방식은 여러가지가 있다. 이것이 다 같음을 보이기 위해 동형사상(Isomorphism)을 이용
모든 완비순서체는 실수 집합 $\mathbb{R}$과 동형이다. 즉 $(F,+,\cdot,0,1,\le)$가 완비순서체일 때, 다음 셋을 만족하는 일대일대응 $\varphi : \mathbb{R}\to{F}$가 존재한다.
1) 모든 $a, b\in\mathbb{R}$에대해$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$이고 $\varphi(a\cdot{b})=\varphi(a)\cdot\varphi(b)$
2) $\varphi(0)=0$이고 $\varphi(1)=1$이다.
3) 모든 $a, b\in\mathbb{R}$에 대해 $a\le{b}\Leftrightarrow\varphi(a)\le\varphi(b)$이다.

 

Exponential 17 최정원 18 이주호