정수론12 Zeta Function 이 글은 수학 역사를 따라 진행된다. 초등적인 Zeta function의 여러 성질을 살펴보고, 그 이후로는 Bernhard Riemann의 논문 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"을 따라갈 것이다. 이 논문에 사용된 표기는 현대 수학과 다른 점이 몇몇 있지만, 이 글에서는 논문에서 사용한 표기를 따를 것이다. 배경지식 : exp-onential.tistory.com/8 exp-onential.tistory.com/16 exp-onential.tistory.com/27 exp-onential.tistory.com/46 exp-onential.tistory.com/55 Index I. Zeta function 1.1. 정의 1.2. Euler p.. 2023. 6. 3. 베르누이 수와 리만 제타 함수 Def. Bernoulli numbers 베르누이 수는 다음과 같이 정의된다. $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n\ge 0} B_n\frac{x^n}{n!}$$ Some Bernoulli numbers 베르누이 수의 정의와 $e^x$의 테일러 급수를 이용하여 $$\left( \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!} \right) \left( e^x-1 \right)= \left( \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!} \right) \left( \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!} \right) = x$$이다. 즉, $$\left( \frac{B_0}{0!} x^0+ \frac{B_1}{1!} x^1 + \frac{B_2}{2!} .. 2023. 5. 16. 리만 제타 함수 $\mathrm{I}$. Reiman Zeta Function1. Definition리만 제타 함수는 복소수 $s$에 대하여 다음과 같이 정의된다.$$\zeta(s)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}$$ 2. Euler product오일러는 $$\zeta(s)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}=\prod_ {p} \frac{1} {1-p^{-s}}$$임을 증명하였다. 이때 $\prod_p$의 의미는 소수 $p$에 대하여 연산을 실행한다는 의미이다.증명 : $\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$에서 $\frac{1} {2^s}\zeta(s)=\frac{1} {2^s}+\frac{1} .. 2023. 3. 16. 펠 방정식 펠 방정식 양의 정수 $d$, $N$에 대하여, $x$, $y$에 대한 방정식 $$x^2-dy^2=N$$을 펠 방정식이라고 한다. 펠 방정식의 해법에는 연분수의 개념이 필수로 필요하다. 이제, $d$와 $N$의 조건에 따른 해법들을 알아보자. 먼저, $d$가 완전제곱수가 아니고 $N=\pm1$일 때는 다음 정리를 이용하여 해를 구할 수 있다. 정리 $d$가 완전제곱수가 아닌 양의 정수이고 $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 제 $n$ 근사 분수를 $\frac{h_n}{k_n}$라 하자. 이때, $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 순환마디의 길이를 $r$이라 하면, 자연수 $i$에 대하여 $$h_{ir-1}^2-dk_{ir-1}^2=(-1)^{ir}$$이 성립한다. 증명 자연수 $i$에 대하여 무리수 $\.. 2022. 11. 17. n=3일 때 페르마의 마지막 정리 페르마의 마지막 정리 (Fermat's Last Theorm, FLT) $n$이 $3$ 이상의 정수일 때 방정식 $$x^n+y^n=z^n$$을 만족하는 자명하지 않은 정수해 쌍 $(x, y, z)$은 존재하지 않는다. $n=3$일 때 오일러가 남긴 증명을 살펴보자. 증명에서는 무한강하법이라는 논리가 사용된다. 무한강하법 (Method of Infinite Descent) 공집합이 아닌 자연수의 부분 집합에는 항상 최솟값 존재한다는 성질을 이용해서 모순을 이끌어 내는 증명 방법 중 하나로 귀류법의 한 종류이다. Euler의 증명 $x^3+y^3=z^3$에서 $z$에 $-z$을 대입하였다 생각하면 $x^3+y^3+z^3=0$이라는 대칭적인 식을 얻을 수 있다. 이 방정식의 정수해 $(x, y, z)$가 존재.. 2022. 11. 4. n=4일 때 페르마의 마지막 정리 페르마의 마지막 정리 (Fermat's Last Theorm, FLT) $n$이 $3$ 이상의 정수일 때 방정식 $$x^n+y^n=z^n$$을 만족하는 자명하지 않은 정수해 쌍 $(x, y, z)$은 존재하지 않는다. $n=4$일 때 페르마가 남긴 증명을 살펴봅시다. 증명에서는 무한강하법이라는 논리가 사용됩니다. 무한강하법 (Method of Infinite Descent) 공집합이 아닌 자연수의 부분 집합에는 항상 최솟값 존재한다는 성질을 이용해서 모순을 이끌어 내는 증명 방법 중 하나로 귀류법의 한 종류이다. Fermat의 증명 주어진 방정식을 간단하게 $$x^4+y^4=z^2$$으로 바꾸어 생각하자. 이 방정식의 양의 정수해 $(x, y, z)$가 존재한다고 가정하자. $x$와 $y$가 공약수를 가.. 2022. 11. 4. 이전 1 2 다음
