이 글은 수학 역사를 따라 진행된다. 초등적인 Zeta function의 여러 성질을 살펴보고, 그 이후로는 Bernhard Riemann의 논문 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"을 따라갈 것이다. 이 논문에 사용된 표기는 현대 수학과 다른 점이 몇몇 있지만, 이 글에서는 논문에서 사용한 표기를 따를 것이다.
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Index
I. Zeta function
1.1. 정의
1.2. Euler product
II. $\zeta(2n)$
2.1. $\zeta(2)$
2.2. $\zeta(2n)$의 점화식
2.3. $\zeta(2n)$의 일반항
2.4. $\zeta(4)$, $\zeta(6)$, $\cdots$, $\zeta(26)$
III. $\zeta(2n-1)$
3.1. $\zeta(1)$
3.2. $\zeta(2n+1)$
IV. Riemann zeta function
4.1. 정의
4.2.
V. Reimann
5.1.
I. Zeta function
I.1. 정의
Zeta function은 실수 $s$에 대하여 다음과 같이 정의된다. $$\zeta(s)\equiv\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}$$ 이 함수는 Leonhard Euler이 Bazel Problem(II.1.)을 해결하기 위하여 처음 정의하였다. 그는 Zeta function을 이용하다 소수의 분포와의 연관성을 엿볼 수 있는 공식(I.2.)을 찾거나, Zeta Function을 이용하여 소수의 개수가 무한함을 증명(III.1.)하기도 하였다.
I.2. Euler product
Leonhard Euler은 $$\zeta(s)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}=\prod_ {p} \frac{1} {1-\frac{1}{p^s}}$$임을 증명하였다.
pf. 소수 $2$에 대하여
$$\frac{1} {2^s}\zeta(s)=\frac{1} {2^s}+\frac{1} {4^s}+\frac{1} {6^s}+\cdots$$
이다. 따라서 $$\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\cdots$$이다. 즉 우변에서 $2$의 배수 분모들만 사라진다. 같은 방법을 소수 $3$에서도 적용하면 $$\left( 1-\frac{1} {2^s} \right)\left( 1-\frac{1} {3^s} \right)\zeta(s)=\frac{1} {1^s}+\frac{1} {5^s}+\frac{1} {7^s}+\cdots$$이게 된다. 모든 소수 $p$에 대하여 이를 반복하면, $$\prod_p\left( 1-\frac{1} {p^s} \right)\zeta(s)=1$$이므로 증명이 완료되었다. $\Box$
이 공식에서 Zeta function와 소수와의 연관성이 드러난다고 할 수 있다. 실제로, Bernhard Riemann은 그의 Riemann Hypothesis가 제기된 논문인 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"을 Euler product로 시작하였다.
Euler product가 드러나는 간단한 예시로써, 무한개의 자연수 중 $s$개의 자연수를 뽑았을 때 이들이 서로소일 확률을 구해보자. 소수 $p$에 대하여 뽑은 자연수가 $p$의 배수일 확률은 $\frac{1} {p}$이다. 따라서 $s$개의 자연수가 모두 $p$를 공약수로 가질 확률은 $\left( \frac{1} {p} \right)^s$이므로, $s$개의 자연수가 $p$에 대하여 서로소일 확률은 $1-\left(\frac{1}{p}\right)^s$이다. 모든 소수 $p$에 대하여 적용하면 확률은 다음과 같다. $$\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)=\frac{1}{\zeta(s)}$$ 즉, Zeta function의 역수이게 된다.
II. $\zeta(2n)$
II.1. $\zeta(2)$
무한급수 $1/1^2+1/2^2+1/3^2+\cdots$을 닫힌 형식으로 구하라는 문제인 Basel Problem은 1650년 Pietro Mengoli에 의해 제기되었다. 이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다가, Leonhard Euler이 1735년 이 급수가 $\pi^2/6$으로 수렴함을 증명하였다. 이를 증명하는 네 가지 방법을 소개한다.
1) Leonhard Euler의 직관적인 증명
pf. $\sin x=0$는 모든 근은 정수 $n$에 대하여 $n\pi$들로만 가진다. 이를 바탕으로 다음과 같이 적자. $$\sin x=kx\left(1-\dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{4\pi^2}\right)\cdots$$ 이때 $x \to 0$일 때 $\frac{\sin x}{x}=1$을 이용하면, $k=1$로 계산된다. 이 결과를 $\sin$함수의 테일러 급수와 비교하면, $$\begin{aligned} \sin x & =x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots \\ & = x \left( 1-\dfrac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\dfrac{x^2}{4\pi^2} \right) \cdots \end{aligned}$$ 양변의 $x^3$의 계수를 비교하면 $$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{4\pi^2}-\frac{1}{9\pi^2}-\cdots$$ 이므로, $\zeta(2)=\pi^2/6$이다. $\Box$
원래의 풀이는 엄밀하지 못한 방법이었으나, 풀이가 소개된 18세기에는 무한급수의 수렴에 관한 수학이 잘 알려지지 않은 상태였다. (Leonhard Euler은 그의 저서 "Introduction to Analysis of the Infinite"에서 무한등비급수의 수렴값을 계산할 때, 공비의 크기가 $1$ 미만인지 고려하지 않고 만연하게 사용하기도 하였다.) 약 100년 후 Karl Weierstrass가 Weierstrass product theorem을 통해 그의 증명이 타당함을 보였다. 또한, 그의 증명에 사용된 $$\sum\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k}=\prod(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2})$$ 을 이용하면 $\zeta(2n)$의 값을 모두 구할 수 있다.
2) Augustin Louis Cauchy의 엄밀한 증명
증명에는 다음 보조정리들이 사용된다.
보조정리1 : 자연수 $m$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^m\cot^2\left(k\pi \over 2m+1\right)=\frac{2m(2m-1)}{6}$이 성립한다.
pf. de Moivre’s formula: $\left(\cos x +i\sin x\right)^n=\cos nx+i\sin nx$에서 양변의 허수부를 비교하여 $$\sin nx={n \choose 1} \sin x\cos^{n-1}x-{n\choose 3}\sin^3x\cos^{n-3}x \pm \cdots$$이 성립한다. $n=2m+1$라 하고, $x=\frac{k\pi}{2m+1}$ ($k=1, 2, \cdots, m$)일 때를 생각하자. 이러한 $x$들에 대하여 $nx=k\pi$ ($k=1, 2, \cdots, m$)이므로 $\sin nx=0$이다. 따라서 $$0={n \choose 1} \sin x\cos^{n-1}x-{n\choose 3}\sin^3x\cos^{n-3}x \pm \cdots$$이고, $\sin \ne 0$이므로 양변을 $\sin^nx$로 나누면 $$0={2m+1 \choose 1} \cot^{2m}x-{2m+1\choose 3}\cot^{2m-2}x \pm \cdots +(-1)^m{2m+1 \choose 2m+1}$$이다. $t$에 대한 $m$차 다항식 $$P(t)\equiv{2m+1 \choose 1} t^m - {2m+1 \choose 3} t^{m-1} \pm \cdots + (-1)^m {2m+1 \choose 2m+1}$$을 정의하자. 그러면, 방정식 $P(t)=0$은 $m$개의 실근으로 $t=\cot^2\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)$을 가진다. 따라서, Viète’s theorem에 의하여 모든 근의 합은 $$\sum_{k=1}^m \cot^2\left( \dfrac{k\pi}{2m+1} \right)=\dfrac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}=\dfrac{2m(2m-1)}{6}$$이다. $\Box$
보조정리2 : 자연수 $m$에 대하여 $\sum_{k=1}^m\csc^2\left(k\pi \over 2m+1\right)=\frac{2m(2m+2)}{6}$이 성립한다.
pf. $\cot^2x+1=\csc^2x$에 의하여, 보조정리 1의 식의 양변에 $m$을 더하면 증명이 완료된다. $\Box$
보조정리3 : $\left( 0, {\pi \over 2} \right)$의 $x$에 대하여 $0<\cot x<\frac{1}{x}<\csc x$이 성립한다.
pf. 두 함수 $f(x)=\tan x-x$, $g(x)=x-\sin x$을 정의하자. $f'(x)=\tan^2x>0$에서 $f$은 증가하고 따라서 $f(x)>f(0)=0$이므로 $\tan x>x$이다. $g'(x)=1-\cos x>0$에서 $g$은 증가하고 따라서 $g(x)>g(0)=0$이므로 $x>\sin x$이다. 따라서 $0<\sin x<x<\tan x$이므로 $0<\cot x<\dfrac{1}{x}<\csc x$이다. $\Box$
pf. 보조정리3에서 $0<y<{\pi \over 2}$에 대하여 $\cot^2y<1/y^2<\csc^2y$이다. $m$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 $0<{k\pi \over 2m+1}<{\pi \over 2}$이므로 이를 부등식에 적용하여 모두 더하면 $$ \sum_{k=1}^m\cot^2\left(k\pi \over 2m+1\right) < \sum_{k=1}^m\left( \dfrac{2m+1}{k\pi} \right)^2 < \sum_{k=1}^m\csc^2\left(k\pi \over 2m+1\right) $$ 이 성립한다. 이를 정리하면, $$\dfrac{2m(2m-1)}{(2m+1)^2}\cdot\dfrac{\pi^2}{6} < \sum_{k=1}^m\dfrac{1}{k^2} <\dfrac{2m(2m+2)}{(2m+1)^2}\cdot\dfrac{\pi^2}{6}$$ 이때, $m$을 무한대로 보내면 조임 정리에 의하여 $$ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$ 이다. 따라서 $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$이다. $\Box$
3)
4) 이중 적분을 이용한 증명
II.2. $\zeta(2n)$의 점화식
Don Zagier가 찾아낸 $\zeta(2n)$들 사이의 점화식을 알아보자. 먼저, 함수 $$f(m,n)=\frac{1}{m^{2k-1}n}+\frac{1}{2}\sum_{i=2}^{2k-2} \frac{1}{m^{2k-i}n^i} +\frac{1}{mn^{2k-1}}$$ 을 정의하자. 그러면,$$f(m,n)-f(m+n,n)-f(m,m+n)=\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{m^{2k-2i}n^{2i}}$$이 성립한다는 사실은 간단한 계산으로 확인할 수 있다. 이 등식의 좌우변을 모두 더해 $\sum_{m,n>0}$을 계산해보자. $i \ne j$에 대하여 $f(i,j)$은 $f\left(j+(i-j), i\right)$나 $f\left(i+i+(j-i)\right)$에 의해 모두 소거되므로, 좌변은$$\sum_{m,n>0} \{f(m,n)-f(m+n,n)-f(m,m+n)\}=\sum_{n=0} f(n,n)=\frac{2k+1}{2}\zeta(2k)$$이고, 우변은$$\sum_{m,n>0} \sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{m^{2k-2i}n^{2i}}=\sum_{i=1}^{k-1} \zeta(2i)\zeta(2k-2i)$$이다. 따라서$$\zeta(2k)=\frac{2}{2k+1}\sum_{i=1}^{k-1} \zeta(2i)\zeta(2k-2i)$$
을 얻는다. 이 $\zeta(2k)$들 사이의 점화식과 $\zeta(2)$의 값을 이용하여 모든 $\zeta(2n)$의 값을 구할 수 있고, 귀납적으로
$\zeta(2n)=$ 유리수$\times\pi^{2n}$
임을 증명할 수도 있다.
II.3. $\zeta(2n)$의 일반항
$\zeta(2n)$은 Bernoulli numbers을 이용하여 일반항으로 나타낼 수 있다.
정수가 아닌 실수 $x$에 대하여 Cotangent and the Herglotz trick라 불리는 다음 등식이 성립한다.$$\pi\cot{\pi x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty {\left(\frac{1}{x+n}+\frac{1}{x-n}\right)}$$
pf. $f(x)=\pi\cot{\pi x}$, $g(x)=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}$을 정의하자. 이제 이 두 함수의 공통점들을 찾아보자.
(1) $f$, $g$는 정수를 제외한 모든 수에서 정의되며, 그러한 점들에서 연속이다.
pf. $f(x)=\pi \frac{\cos \pi x}{\sin \pi x}$에 대하여는 자명하다. $g(x)=\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2-x^2}$로 고쳐쓰고, $x \notin \mathbb Z$에 대하여 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-x^2}$이 $x$ 근방에서 균등수렴함을 보이자. $n=1$일 때와 $2n-1\le x^2$ 일 때 : $n$이 유한개이므로 문제가 없다. $n \ge 2$이고 $2n-1>x^2$ 일 때 : 이 조건을 만족하는 항들은 $n^2-x^2>(n-1)^2>0$, $0<\frac{1}{n^2-x^2}<\frac{1}{(n-1)^2}$로 한계가 주어진다. (이 부등식은 $x$와 $x$ 근방의 값에 대하여 모두 성립) 이때, $\sum \frac{1}{(n-1)^2}$이 수렴하므로 증명이 완료되었다.
(2) $f$, $g$는 주기를 $1$로 가지는 주기함수이다. 즉, $x \in \mathbb R/\mathbb Z$에 대하여 $f(x+1)=f(x), g(x+1)=g(x)$이다.
pf. $f(x)= \frac{\pi\cos \pi x}{\sin \pi x}$에 대하여는 자명하다. $g_N(x)=\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}$라 하면, $g(x)=\lim_{N \to \infty} g_N(x)$가 된다. $$g_N(x+1)=\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n+1}=\sum_{x=-N+1}^{N+1} \frac{1}{x+n}=g_{N-1}(x)+\frac{1}{x+N}+\frac{1}{x+N+1}$$ 이므로, $N \to \infty$을 취하여 $g(x+1)=g(x)$를 얻는다.
(3) $f,g$는 모두 기함수이다. 즉, $x \in \mathbb R / \mathbb Z$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$, $g(-x)=g(-x)$가 성립한다.
pf. $f(x)$는 기함수임은 자명하다. $g_N(-x)=-g_N(x)$임도 자명하므로 증명이 완료되었다.
(4) $f$, $g$는 $f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})=2f(x)$, $g(\frac{x}{2})+g(\frac{x+1}{2})=2g(x)$이라는 공통된 함수방정식을 가진다.
pf. $f(x)$에 대해서는 자명하게 $$f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})=\pi \left( \frac{\cos\frac{\pi x}{2}}{\sin\frac{\pi x}{2}}-\frac{\sin\frac{\pi x}{2}}{\cos\frac{\pi x}{2}} \right)=2\pi \frac{\cos(\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi x}{2})}=2f(x)$$가 성립한다. $\frac{1}{\frac{x}{2}+n}+\frac{1}{\frac{x+1}{2}+n}=2\left( \frac{1}{x+2n}+\frac{1}{x+2n+1} \right)$로부터 $g_N(\frac{x}{2})+g_N(\frac{x+1}{2})=2g_{2N}(x)+\frac{2}{x+2N+1}$이므로 $N \to \infty$을 보내어 $g(\frac{x}{2})+g(\frac{x+1}{2})=2g(x)$이 성립한다.
위에서 살펴본 $f$와 $g$의 공통점을 이용하여 두 함수가 같음을 증명할 것이다. $$h(x)=f(x)-g(x)=\pi cot\pi x-(\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2-x^2})$$ 을 정의하고 $h$가 $0$임을 보이면 된다. $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} h(x) & =\lim_{x \to 0}(\pi\cot\pi x-\frac{1}{x})=\lim_{x \to 0} \frac{\pi x\cos\pi x-\sin\pi x}{x\sin\pi x} \\ & =\lim_{x \to 0} \frac{\pi\cos\pi x-\pi^2x\sin\pi x-\pi\cos\pi x}{\sin\pi x+\pi x\cos\pi x}\\ & =\lim_{x \to 0} \frac{-\pi^2 x\sin\pi x}{\sin\pi x+\pi x\cos\pi x} \\ & =\lim_{x \to 0} \frac{-\pi^2 x\sin\pi x-\pi^3 x\cos\pi x}{\pi\cos\pi x+\pi\cos\pi x-\pi^2x\sin\pi x}=0 \end{aligned}$$ $h(x)$은 주기가 $1$이므로 $n\in\mathbb Z$ 에 대하여 $\lim_{x\to n}f(x)=0$이다. 즉, $h(x)$를 정수 $x$에서는 $h(x)=0$으로 정의하면 $h(x)$는 모든 $\mathbb R$에서 연속인 연속함수이다. $h$는 연속인 주기함수이므로 최댓값을 가지고 이를 $m$이라 하자. $x_0 \in \left[ 0,1 \right)$에 대하여 $h(x_0)=m$이라 하자. (4)에서 $h(\frac{x_0}{2})+h(\frac{x_0+1}{2})=2m$이다. 이때, $h(\frac{x_0}{2}),h(\frac{x_0+1}{2}) \leq m$이므로 $h(\frac{x_0}{2})=m$이다. 이를 계속 반복하여 $h(\frac{x_0}{2^n})=0$이고, $n \to \infty$를 하면 함수 $h$의 연속성에 의하여 $h(0)=m$이 된다. 이때 $h(0)=0$이므로 $m=0$이다. 즉, $h(x)=0$이다. 따라서 $f(x)=g(x)$가 증명되었다. $\Box$
Cotangient and the Herglotz trick에서 $\pi x=y$로 치환하자. 그러면$$y\cot y=1-2\sum_{n=1}^\infty \frac{y^2}{\pi^2n^2-y^2}$$이다. 여기서$$y\cot y=1-2\sum_{n=1}^\infty \frac{y^2}{\pi^2n^2}\frac{1}{1-(y/\pi n)^2}$$에서 $|y|<1$인 경우에는 맨 마지막 항을 등비가 $(y/\pi n)^2$인 무한등비급수로 해석할 수 있다. 따라서 다음과 같이 적는다. $$\begin{aligned}y\cot y&=1-2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty(y/\pi n)^{2k}\\&=1-2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{\pi^{2k}}\sum_{n=1}^\infty n^{-2k} \right)y^{2k}\end{aligned}$$ 이로부터, $y\cot y$의 멱급수 형태에서 $y^{2k}$의 계수는 $-\left(2/\pi^{2k}\right)\zeta(2k)$이다.
$y\cot y$을 다르게 표현하기 위하여 $\cot\theta=i\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)/\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)$을 이용한다. 즉, $$y\cot y=iy\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{e^{iy}-e^{-iy}}=iy+\frac{e^{2iy}+1}{e^{2iy}-1}$$으로도 쓸 수 있다. Bernoulli numbers을 정의하는 수열을 이용하면 $$y\cot y=\sum_{k=0}^\infty B_{2k}\frac{(2iy)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$$와 같은 멱급수로 정리된다. 위에서의 결과와 $y^{2k}$의 계수와 비교하면, $\zeta(2n)$의 일반항으로 $$\zeta(2k)=\frac{(-1)^{k-1}2^{2k-1}B_{2k}}{(2k)!}$$을 얻을 수 있다.
II.4. $\zeta(4)$, $\zeta(6)$, $\cdots$, $\zeta(26)$
Leonhard Euler가 그의 저서 "Introduction to Analysis of the Infinite"에서 직접 $\zeta(2n)$을 구하였다. 그 값들을 옮겨와 소개한다.$$\begin{aligned} \zeta(2) & =\frac{2^0}{3!}\frac{1}{1}\pi^2 \\ \zeta(4) &= \frac{2^2}{5!}\frac{1}{3}\pi^4 \\ \zeta(6) &= \frac{2^4}{7!}\frac{1}{3}\pi^6 \\ \zeta(8) &= \frac{2^6}{9!}\frac{3}{5}\pi^8 \\ \zeta(10) &= \frac{2^8}{11!}\frac{5}{3}\pi^{10} \\ \zeta(12) &= \frac{2^{10}}{13!}\frac{691}{105}\pi^{12} \\ \zeta(14) &= \frac{2^{12}}{15!}\frac{35}{1}\pi^{14} \\ \zeta(16) &= \frac{2^{14}}{17!}\frac{3617}{15}\pi^{16} \\ \zeta(18) &= \frac{2^{16}}{19!}\frac{43867}{21}\pi^{18} \\ \zeta(20) &= \frac{2^{18}}{21!}\frac{1222277}{55}\pi^{20} \\ \zeta(22) &= \frac{2^{20}}{23!}\frac{854513}{3}\pi^{22} \\ \zeta(24) &= \frac{2^{22}}{25!}\frac{1181820455}{273}\pi^{24} \\ \zeta(26) &= \frac{2^{24}}{27!}\frac{76977927}{1}\pi^{26} \end{aligned}$$ 그는 이 값들의 분자에 나타나는 자연수들이 큰 소인수를 가진다는 사실에 주목했다. $691$와 $3671$, $43867$은 소수이며, $1222277$, $854513$, $1181820455$, $76977927$은 큰 소인수 $617$, $593$, $2294797$, $657931$을 가진다. 하지만 그가 이 책을 출판할 당시에는 Bernoulli numbers이 알려지지 않아서, 일반화된 방법으로 $\zeta(2n)$을 서술하지는 못하였다.
III. $\zeta(2n-1)$
III.1. $\zeta(1)$
이 Zeta function은 조화급수라고도 하며, 양의 무한대 $\infty$로 발산한다. 이를 증명하는 두 가지 방법을 소개한다.
1) Nicolas Oresme의 증명
pf. 이 급수의 항을 $2^n$개씩 묶어 다음과 같이 정리할 수 있다.$$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{n}} & =\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\cdots \\ &>1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\right)+\cdots \\ & =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\cdots \\ & = \infty\end{aligned}$$따라서 비교판정법에 의해 $\zeta(1)$은 발산한다. $\Box$
2) Johann Bernoulli의 증명
pf. 조화급수가 $S$로 수렴한다고 가정하자. $S-1$을$$\begin{aligned} & \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots \\ & =\frac{1}{1\cdot2}+\frac{2}{2\cdot3}+\frac{3}{3\cdot4}+\cdots \\ & =\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}\cdots\right)+\cdots\end{aligned}$$로 적고, 망원급수를 이용하여 쉽게 유도할 수 있는 무한급수인$$1=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots$$을 대입하면,$$\begin{aligned} S-1 & = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots \\ & =1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot3}\right)+\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}\right)+\cdots \\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=S\end{aligned}$$을 얻는다. 즉, $S-1=S$이 유도되었으므로 이는 모순이다. 따라서 조화급수는 수렴값 $S$을 가지지 못하므로 발산한다. $\Box$
Leonhard Euler은 조화급수의 발산성을 이용하여 소수의 개수가 무한함을 증명하였다.
pf. Euler's product에서 다음을 얻을 수 있다.$$\zeta(1)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n}=\prod_ {p} \frac{1} {1-\frac{1}{p}}$$좌변인 $\zeta(1)$은 발산하므로, 우변도 발산해야한다. 만약 소수의 개수가 유한하다면, 우변은 고작해야 유한개의 항의 곱이므로 발산할 수 없다. 따라서 소수의 개수가 무한해야한다. $\Box$
소수의 역수만을 더해나가는 것을 소수의 조화급수 $\sum\frac{1}{p}$라 하면, 이 또한 발산한다.
pf 1. $0<x \le \frac{1}{2}$의 $x$에 대하여 $e^{2x}>1+2x>\frac{1}{1-x}$이 성립함을 쉽게 알 수 있다. $x$에 소수들의 역수 $\frac{1}{p}$을 대입하면
$e^{2\times\frac{1}{2}}>\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$, $e^{2\times\frac{1}{3}}>\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$, $e^{2\times\frac{1}{5}}>\frac{1}{1-\frac{1}{5}}$, $\cdots$
을 얻을 수 있다. 이로부터 $$e^{2\times\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots\right)}>\prod_p\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$$을 얻는다. 우변은 $\zeta(1)$이므로 발산한다. 따라서 좌변도 발산해야하고 이로부터 지수인 조화급수 또한 발산해야함이 증명된다. $\Box$
pf 2. Bertrand's postulate에 의하여 자연수 $n$와 $2n$ 사이에는 소수 $p$가 반드시 존재한다. 이를 바탕으로 $n\le p_n\le 2n$와 같이 임의의 소수 $p_n$들을 정의하자. 그러면,$$\sum\frac{1}{p}\ge\sum\frac{1}{p_n}\ge\sum\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\zeta(1)=\infty$$이므로, 소수의 $\sum\frac{1}{p}$ 또한 발산한다.
III.2. $\zeta(2n+1)$
여러 수학자들이 다양한 방법으로 $\zeta(1)$이 발산함을 증명하였다. 그러나 이 외의 홀수 $s$에 대한 $\zeta(s)$에 대해서는 아직까지도 닫힌 형식의 값이 발견되지 않았다. Leonhard Euler 또한 $\zeta(3)$의 값을 구하는 것을 시도해보았지만, 닫힌 형식으로는 구하지 못하고 1772년 다음과 같은 급수 전개를 얻고 이를 이용하여 소숫점 16자리까지의 값을 구함에 그쳤다. $$\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]$$ $\zeta(3)$이 무리수임은 1987년 Roger Apéry에 의해 증명되었다. 이로부터, $$\zeta(3)=1.2020569031595942\cdots$$을 Apéry's constant라 칭하게 되었다.
IV. Riemann zeta function
IV.1. 정의
Riemann zeta function은 실수 $s$에 대하여 정의된 Zeta Function의 정의역을 복소수 $s$에 대하여 확장하여 정의한 것이다. 이때, Bernhard Riemann이 사용한 표기에 따라 복소수 $s$의 실수부는 $\sigma$, 허수부는 $t$을 사용하여 $s=\sigma+it$로 표기한다. 이 함수는 Bernhard Riemann이 1859년 그의 논문 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"에서 처음 정의하였다. 논문에서는 자신의 이름을 붙이지 않았으나, 그의 사후에 이름이 붙게 되어 현재의 명칭으로 불리게 되었다. 그의 정의역을 확장한 Zeta function의 정의는 다음과 같다.$$\zeta(s)\equiv\frac{1}{\prod(s-1)}\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx$$위의 정의에서 $\prod(s-1)$의 표기는 현대에서는 Gamma function와 같은 개념이다. Bernhard Riemann은 $$\int_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}\,dx=\frac{\prod(s-1)}{n^s}$$으로부터 $\Gamma(s)=\prod(s-1)$을 증명하였다. 이 적분은 부분적분을 이용하여 쉽게 유도할 수 있다.
자연수 $s$에 대하여, $\zeta$의 새로운 정의가 여태 사용해온 정의인 $\sum1/n^s$와 같음을 증명해보자.
pf. 위의 정의를 $e^x$의 Taylor series을 이용하여 정리하면 다음과 같다. $$\begin{aligned}\zeta(s)&=\displaystyle\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{ 0 }^{ \infty }x^{s-1}\sum_{n=1}^{ \infty }e^{-nx}\,dx\\&=\dfrac{1}{\Gamma (s)}\sum_{n=1}^{ \infty }\int_{ 0 }^{ \infty }x^{s-1}e^{-nx}\,dx\end{aligned}$$ 이를 $nx=t$로 치환하여 정리하면, $$\begin{aligned}\zeta(s)&=\dfrac{1}{\Gamma (s)}\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{n}{\left(\frac{t}{n}\right)}^{s-1}e^{-t}\,dt\\&=\dfrac{1}{\Gamma (s)}\sum_{n=1}^{ \infty } \dfrac{1}{n^{s}}\int_{ 0 }^{ \infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt\\&=\dfrac{1}{\Gamma (s)}\sum_{n=1}^{ \infty } \dfrac{1}{n^{s}}\Gamma(s)\\&=\sum_{n=1}^{ \infty } \dfrac{1}{n^{s}}\end{aligned}$$을 얻을 수 있다. $\Box$
IV.2. Riemann's functional equation
먼저, 다음 적분을 생각하자.$$\int_\infty^\infty\frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,dx$$ 이때, $\int_\infty^\infty$의 표기는 Bernhard Riemann이 $\oint$ 대신 사용한 경로적분 표기이다. 이를 계산해보자.
계산하면 다음과 같이 정리할 수 있다. $$\left(e^{-\pi si}-e^{\pi si}\right)\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx$$ 이를 $\zeta(s)$의 정의에 대입하고, $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$을 이용하여 정리하면, 다음을 얻는다. $$2\sin\pi s\prod(s-1)\zeta(s)=i\int_\infty^\infty\frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,dx$$ 이 등식으로부터 모든 복소수 $s$에 대하여 $\zeta(s)$의 값을 구할 수 있다.
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