조화 급수, 오일러 급수

조화급수 (자연수 역수의 합)
$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{n}}=\infty$$

pf1) 어떤 수가 무한보다 크면 그 수도 무한이라는 사실을 이용한다.

$$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{n}} & =\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} \\ & +\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\cdots \\ &>1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right) \\ & + \left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\right)+\cdots \\ & =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\cdots \\ & = \infty\end{aligned}$$

따라서 주어진 식은 무한으로 발산한다.   $\blacksquare$

pf2) 주어진 식이 수렴한다면 수렴값을 $S$라 하자.

$$\begin{aligned}S & =\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} \\ & +\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\cdots \\ & > \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right) \\ & +\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\right)+\cdots \\ &=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots=S\end{aligned}$$

이는 모순이므로 수렴값 $S$는 존재하지 않는다. 따라서 주어진 식은 무한으로 발산한다.   $\blacksquare$

 

오일러 급수 (자연수 제곱의 역수의 합)

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{\pi^2}{6}$$

위 식의 수렴성은 보이기 쉬우나 실제 수렴값을 계산하는 것은 매우 어렵습니다. 따라서 이번 글에서는 수렴성의 증명은 엄밀하게 하겠지만, 수렴값의 증명은 엄밀하지 못하지만 직관적인 풀이를 소개할 것입니다.

수렴성 증명
주어진 식이 $1$와 $2$ 사이의 수로 수렴함을 보이자.

pf) 식을 변형하여 망원급수(Telescoping Series) 형태로 바꾼다.

$$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}} & =1+\sum_{n = 2}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}} \\ & < 1+\sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{(n-1)n}} \\ & = 1 + \sum_{n = 2}^{\infty}{\left( \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n} \right)} \\ & =1+1-\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n} \\ &=2\end{aligned}$$

$s_n=\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{k^2}}$라 하면 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}s_n$은 증가수열이다. 단조 수렴 정리에 의하여, $s_n$은 증가수열이면서 위로 유계이므로 수렴한다. 따라서 주어진 수는 $1$와 $2$ 사이의 수로 수렴한다.   $\blacksquare$

수렴값 증명
수렴값이 $\dfrac{\pi^2}{6}$임을 보이자.

pf) 함수 $\sin x$는 모든 정수 $n$에 대하여 근을 $n\pi$들로만 가진다. 따라서 $\sin x$의 테일러 급수를 다음과 같이도 해석할 수 있다.

$$\begin{aligned} \sin x & =x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots \\ & =k'x\left( x-\pi \right) \left( x+\pi \right) \left( x-2\pi \right) \cdots \\ & = k'x\left( x^2-\pi^2 \right) \left( x^2-4\pi^2 \right) \cdots \\ & = kx \left( 1-\dfrac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\dfrac{x^2}{4\pi^2} \right) \cdots \end{aligned}$$

이때 $$\begin{aligned} \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} & =k\left(1-\dfrac{x^2}{\pi^2}\right) \left(1-\dfrac{x^2}{4\pi^2} \right) \cdots \\ & =1 \end{aligned}$$이므로 $k=1$이다. 즉, $$\begin{aligned} \sin x & =x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots \\ & = x \left( 1-\dfrac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\dfrac{x^2}{4\pi^2} \right) \cdots \end{aligned}$$

양변의 $x^3$의 계수를 비교하면 $$-\dfrac{1}{3!}=-\dfrac{1}{\pi^2}-\dfrac{1}{4\pi^2}-\dfrac{1}{9\pi^2}-\cdots$$

따라서 $$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$$이다.   $\blacksquare$

 

오일러 급수를 이용하면 자연수의 짝수 제곱의 역수의 합을 모두 계산할 수 있다. 예시로 네제곱의 경우를 계산해보자.

 

자연수 네제곱의 역수의 합 

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{\pi^4}{90}$$

pf) 위에서 얻은 식

$$\begin{aligned} \sin x & = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots \\ & = x\left( 1-\dfrac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\dfrac{x^2}{4\pi^2} \right) \cdots \end{aligned}$$

에서 양변의 $x^5$의 계수를 비교하면

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{5!} & =\dfrac{1}{\pi^2} \left( \dfrac{1}{2^2\pi^2}+\dfrac{1}{3^2\pi^2}+\dfrac{1}{4^2\pi^2}+\cdots \right)  \\ & +\dfrac{1}{2^2\pi^2} \left( \dfrac{1}{3^2\pi^2}+\dfrac{1}{4^2\pi^2}+\cdots \right) + \cdots \\ & =\dfrac{1}{1^2\times 2^2 \pi^4}+\dfrac{1}{1^2\times 3^2 \pi^4} \\ & +\dfrac{1}{1^2\times 4^2 \pi^4}+\cdots \\ & +\dfrac{1}{2^2\times 3^2 \pi^4}+\dfrac{1}{2^2\times 4^2 \pi^4}+\cdots \\ & =\dfrac{1}{\pi^4}\displaystyle\sum_{1\le n<m}\dfrac{1}{n^2m^2}\end{aligned}$$

우리는 이미 자연수 제곱의 역수의 합을 아므로, 이를 이용하기 위해 우변을 다음과 같이 변형한다.

$$\begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{1\le n<m}\dfrac{1}{n^2m^2} = \\ \displaystyle\sum_{1\le n<m}\dfrac{1}{2} \left\{ \left(\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{m^2} \right)^2- \dfrac{1}{n^4}-\dfrac{1}{m^4} \right\} \end{eqnarray}$$

정리하면,

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{5!} & =\dfrac{1}{2\pi^4} \left( \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots\right) ^2 \\ & - \dfrac{1}{2\pi^4}\left( \dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots\right) \end{aligned}$$ 즉,

$$\begin{aligned} \dfrac{2\pi^4}{5!} & =\left( \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots\right) ^2 \\ & - \left( \dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\cdots \right) \\ & = \dfrac{\pi^4}{36}- \left( \dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\cdots \right) \end{aligned}$$

따라서 $$\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots=\dfrac{\pi^4}{90}$$이다.   $\blacksquare$

 

Exponential 17 김지하