탄젠트의 배각 공식과 이항 계수

tan 배각 공식

$\tan\theta=t$라고 하면, $\tan n\theta$는 다음과 같다.
$$\tan n\theta=\dfrac{{n \choose 1}t-{n \choose 3}t^3+{n \choose 5}t^5-\cdots}{{n \choose 0}-{n \choose 2}t^2+{n \choose 4}t^4-\cdots}$$

이항 계수가 파스칼 삼각형처럼 나열된 모습이다.

 

증명

수학적 귀납법(Induction)을 이용한다.

1. $n=2$일 때

$$\tan 2\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{{2 \choose 1}t}{{2 \choose 0}-{2 \choose 2}t^2}$$이므로 성립한다.

2. $n=k$일 때 성립을 가정하면, $n=k+1$일 때

$$\begin{eqnarray}\tan(k+1)\theta&&=\tan(k\theta+\theta)=\dfrac{\tan\theta+\tan k\theta}{1-\tan\theta\tan k\theta}\\&&=\dfrac{t+\dfrac{{k \choose 1}t-{k \choose 3}t^3+{k \choose 5}t^5-\cdots}{{k \choose 0}-{k \choose 2}t^2+{k \choose 4}t^4-\cdots}}{1-t\dfrac{{k \choose 1}t-{k \choose 3}t^3+{k \choose 5}t^5-\cdots}{{k \choose 0}-{k \choose 2}t^2+{k \choose 4}t^4-\cdots}}\\ &&=\dfrac{\left({k \choose 0}-{k \choose 2}t^2+{k \choose 4}t^4-\cdots \right)t+\left( {k \choose 1}t-{k \choose 3}t^3+{k \choose 5}t^5-\cdots \right) }{ \left( {k \choose 0}-{k \choose 2}t^2+{k \choose 4}t^4-\cdots \right) -t \left( {k \choose 1}t-{k \choose 3}t^3+{k \choose 5}t^5-\cdots \right) }\\&&=\dfrac{ \left( {k \choose 0}+{k \choose 1} \right) t- \left( {k \choose 2}+{k \choose 5} \right) t^3+ \left( {k \choose 4}+{k \choose 5} \right) t^5-\cdots}{{k \choose 0}-\left( {k \choose 1}+{k \choose 2} \right) t^2+ \left( {k \choose 2}+{k \choose 3} \right) t^4+ \left( {k \choose 4}+{k \choose 5} \right) t^6-\cdots}\end{eqnarray}$$

이때 파스칼 항등식$$_n\mathrm{C}_r=_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+_{n-1}\mathrm{C}_r$$을 사용하면,

$$\begin{eqnarray}\tan(k+1)\theta&&=\dfrac{ \left( {k \choose 0}+{k \choose 1} \right) t-  \left( {k \choose w}+{k \choose 3} \right) t^3+\left( {k \choose 4}+{k \choose 5} \right)t^5-\cdots}{{k \choose 0}-\left( {k \choose 1}+{k \choose 2} \right)t^2+\left( {k \choose 2}+{k \choose 3} \right)t^4+\left( {k \choose 4}+{k \choose 5} \right)t^6-\cdots}\\&&=\dfrac{{k+1 \choose 1}t-{k+1 \choose 3}t^3+{k+1 \choose 5}t^5-\cdots}{{k+1 \choose 0}-{k+1 \choose 2}t^2+{k+1 \choose 4}t^4-\cdots}\end{eqnarray}$$

이므로 증명이 끝났다.   $\blacksquare$

 

Exponential 17 김지하