젠센 부등식의 활용 : 삼각함수

먼저, 구간별 삼각함수의 볼록성을 살펴보자.

 

sin 함수의 볼록성

$f(x)=\sin x$라 두고 볼록성을 확인하기 위하여 두 번 미분하면 $f''(x)=-\sin x$이다. 이때, $(0,\pi)$에서 $-\sin x<0$이므로 $(0,\pi)$에서 $\cos x$는 $\rm{concave}$이다.

 

cos 함수의 볼록성

$g(x)=\cos x$라 두고 볼록성을 확인하기 위하여 두 번 미분하면 $g''(x)=-\cos x$이다. 이때, $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 $-\cos x<0$이므로 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 $\cos x$는 $\rm{concave}$이다.

 

이제, 삼각함수의 볼록성을 이용하여 삼각함수의 성질을 살펴보자.

 

Question 1.

삼각형 $\rm{ABC}$에서 $\cos{\rm{A}}+\cos{\rm{B}}+\cos{\rm{C}}$의 최댓값을 구하여라.

sol) $\angle{\rm{A}}$, $\angle{\rm{B}}$, $\angle{\rm{C}}$가 예각일 때 준식이 최대이고, $(0,\frac{\pi}{2})$에서 $\cos x$는 $\rm{concave}$이다. 따라서 젠센 부등식을 이용하면

$$\cos{\rm{A}}+\cos{\rm{B}}+\cos{\rm{C}} \le 3\,\cos\left(\dfrac{\rm{A+B+C}}{3}\right)=\dfrac{3}{2}$$을 얻는다.

 

Question 2.

삼각형 $\rm{ABC}$에서 $\cos \rm{A} \cos \rm{B} \cos \rm{C}$의 최댓값을 구하여라.

sol) $\angle{A}$, $\angle{B}$, $\angle{C}$가 예각일 때 준식이 최대이고, $(0,\frac{\pi}{2})$에서 $\cos x$는 $\rm{concave}$이다. 따라서 산술 기하 부등식을 이용하면

$$\cos A \cos B \cos C \le (\dfrac{\cos A+\cos B+\cos C}{3})^3\le\dfrac{1}{8}$$을 얻는다. 두 등호의 성립 조건의 일치하므로 최댓값을 $\dfrac{1}{8}$이라고 할 수 있다.

 

Question 3.

삼각형 $\rm{ABC}$에서 $\sin A+\sin B+\sin C$의 최댓값을 구하여라.

sol) $(0,\pi)$에서 $\sin x$는 $\rm{concave}$이다. 따라서 젠센 부등식을 이용하면

$$\sin A+\sin B+\sin C+\le 3\,\sin(\dfrac{A+B+C}{3})=\dfrac{3\sqrt3}{2}$$을 얻는다.

 

Question 4.

삼각형 $\rm{ABC}$에서 $\sin A \sin B \sin C$의 최댓값을 구하여라.

sol) $(0,\pi)$에서 $\sin x$는 $\rm{concave}$이다. 따라서 산술 기하 부등식을 이용하면

$$\sin A \sin B \sin C \le (\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{3})^3\le\dfrac{3\sqrt3}{8}$$을 얻는다. 두 등호의 성립 조건의 일치하므로 최댓값을 $\dfrac{3\sqrt3}{8}$이라고 할 수 있다.

 

Question 5.

$\cos^2\dfrac{1}{2}$와 $\cos\dfrac{1}{\sqrt2}$의 대소를 비교하여라.

sol) $2\cos^2\frac{1}{2}=\cos0+\cos1$이므로, $\cos0+\cos1$와 $2\cos\frac{1}{\sqrt2}$의 대소를 비교하자.

$(0,\frac{\pi}{2})$에서 함수 $f(x)=\cos\sqrt x$을 잡자. 볼록성을 살펴보기 위하여 두 번 미분하면 $$f''(x)=\dfrac{1}{4x}(\dfrac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}-\cos\sqrt x)$$이다. $f''(x)>0$인 구간을 찾으려면

$\dfrac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}-\cos\sqrt x>0$, $\dfrac{\sin\sqrt x}{\cos\sqrt x}>\sqrt x$

즉, $$\tan X>X$$인 구간을 찾아야 한다. (이때, $X=\sqrt x,\,x=X^2$)

$(0,\frac{\pi}{2})$에서 함수 $g(x)=\tan x-x$을 잡으면, $$g'(x)=\sec^2 x-1>0$$

이므로 $g(x)$는 증가함수이다. $g(0)=0$이므로, $(0,\dfrac{\pi}{2})$에서 $g(x)>0$

따라서 $(0,\frac{\pi}{2})$에서 $$\dfrac{\sin\sqrt x}{\cos\sqrt x}>\sqrt x$$ 즉, $f''(x)>0$ 이므로 $f(x)$는 $(0,\frac{\pi}{2})$에서 $\rm{convex}$ (아래로 볼록)이다.

이 구간에서 젠센 부등식을 사용하면 $$f(\dfrac{0+1}{2})<\dfrac{f(0)+f(1)}{2}$$즉, $$2f(\dfrac{1}{2})<f(0)+f(1)$$

따라서 $2\cos\dfrac{1}{\sqrt2}<\cos0+\cos1$이므로, $\cos^2\dfrac{1}{2}>\cos\dfrac{1}{\sqrt2}$

cf. 두 수는 실제로 $0.009$ 정도밖에 차이나지 않는 매우 가까운 수이다.

 

Exponential 17 김지하