점화식의 일반항

1. $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$
2. $a_{n+1}=a_{n}f(n)$
3. $a_{n+1}=pa_{n}+q$
4. $pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=0$
5. $a_{n+1}=\dfrac{ra_n}{pa_n+q}$
6. $a_{n+1}=\dfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$

6가지 유형의 점화식의 일반항을 구해보자.

1. $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$
주어진 점화식의 조건을 이용하면 다음 $n-1$개의 식을 얻을 수 있다.
$$\begin{aligned} a_n & =a_{n-1}+f(n-1) \\ a_{n-1} & =a_{n-2}+f(n-2) \\ & \ \ \vdots \\ a_2 & =a_1+f(1)\end{aligned}$$ 위의 식들을 모두 더하면 일반항을 얻을 수 있다. $$a_n=a_1+\sum_{i = 1}^{n-1}{f(i)}$$

2. $a_{n+1}=a_nf(n)$
주어진 점화식의 조건을 이용하면 다음 $n-1$개의 식을 얻을 수 있다.
$$\begin{aligned} a_n & =a_{n-1}f(n-1) \\ a_{n-1} & =a_{n-2}f(n-2) \\ & \ \ \vdots \\ a_2 & =a_1f(1) \end{aligned}$$ 위의 식들을 모두 곱하면 일반항을 얻을 수 있다. $$a_n=a_1\prod_{i = 1}^{n-1}{f(i)}$$

3. $a_{n+1}=pa_n+q$
점화식의 일반항을 구하기 위하여 양 변에 적절한 수를 빼주어 등비수열의 형태로 만들어 준다. 즉, $$a_{n+1}-\alpha=pa_{n}+q-\alpha=p(a_{n}-\alpha)$$가 되는 수 $\alpha$를 찾아야 한다. 위의 식에서 $q-\alpha=-p\alpha$이므로, $$\alpha =\dfrac{q}{1-p}$$로 $\alpha$를 찾을 수 있다. (이때, $\alpha$를 구하기는 $a_{n+1}=a_{n}=x$를 대입하여 나오는 일차방정식의 해를 구하는 것과 같다. 때문에 $x=px+q$를 이러한 점화식의 특성방정식이라고 한다.)
$\alpha$를 이용하여 등비수열의 형태를 만들었으니 새로운 점화식 $b_n=a_n-\alpha$을 정의해주면, $b_{n+1}=pb_{n}$이므로 $b_n=b_1p^{n-1}$이다. 따라서 $a_n-\alpha=p^{n-1}(a_1-\alpha)$이고, 이를 정리하면 일반항 $$a_n=p^{n-1}(a_1-\alpha)+\alpha$$을 얻을 수 있다.

4. $pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$
점화식의 일반항을 구하기 위하여 양 변에 적절하게 $qa_{n+1}$을 쪼개어 등비수열의 형태로 만들어 준다. 즉, $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$$인 $\alpha, \beta$를 찾아야 한다. 위의 식에서 $$a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_{n}=0$$이므로, $$\alpha+\beta=-\dfrac{q}{p},\, \alpha\beta=\dfrac{r}{p}$$이다. 즉, $\alpha$와 $\beta$는 $px^2+qx+r=0$의 두 근으로 찾을 수 있다. (이때, $\alpha$와 $\beta$를 구하기는 $a_{n+2}=x^2$, $a_{n+1}=x$, $a_{n}=1$을 대입하여 나오는 이차방정식의 두 해를 구하는 것과 같다. 때문에 $px^2+qx+r=0$를 이러한 점화식의 특성방정식이라고 한다.)
위의 과정을 거치면 두 식 $$\begin{eqnarray} && a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta\left(a_{n+1}-\alpha a_{n}\right) \\ && a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha\left(a_{n+1}-\beta a_{n}\right) \end{eqnarray}$$을 얻을 수 있다. 얻은 두 식을 이용하기 위하여 새로운 점화식 $$\begin{eqnarray} && b_n=a_{n+1}-\beta a_{n} \\ && c_n=a_{n+1}-\alpha a_{n} \end{eqnarray}$$을 정의한다. 이를 이용하면 $$\begin{eqnarray} && b_{n+1}=\alpha b_{n} \\ && c_{n+1}=\beta c_{n} \end{eqnarray}$$이므로 $$\begin{aligned} b_{n} & =\alpha^{n-1}b_1 \\ c_{n+1} & =\beta^{n-1}c_1 \end{aligned}$$이다. 따라서 $$\begin{aligned} a_{n+1}-\beta a_n & =\alpha^{n-1}(a_2-\beta a_1) \\ a_{n+1}-\alpha a_n & =\beta^{n-1}(a_2-\alpha a_1) \end{aligned}$$을 얻을 수 있다. 
먼저 $\alpha\neq\beta$인 경우를 해결해보자. 위에서 얻은 두 식을 빼주면 $$\begin{eqnarray} (\alpha -\beta)a_n && = (a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1} \\ && \quad -(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}\end{eqnarray}$$이고, 이를 정리하면 일반항 $$a_n=\dfrac{a_2-\beta a_1}{\alpha-\beta}\alpha^{n-1}-\dfrac{a_2-\alpha a_1}{\alpha-\beta}\beta^{n-1}$$을 얻는다. (간단히 하면 $a_n=A \alpha^{n-1}+B \beta ^{n-1}$꼴)
다음으로 $\alpha=\beta$ 인 경우를 해결보자. 이때는 위에서 얻은 두 식이 $$a_{n+1}-\alpha a_{n}=\alpha ^{n-1}(a_2-\alpha a_1)$$으로 같다. 양변을 $\alpha^{n+1}$으로 나누어주면 $$\dfrac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}}-\dfrac{a_{n}}{\alpha ^{n}}=\dfrac{a_2}{\alpha^2}-\dfrac{a_1}{\alpha}$$이다. 이 식은 등차수열의 형태이다. 새로운 점화식 $d_n=\alpha^{-n}a_n$을 정의하면 $$d_{n+1}-d_{n}=\dfrac{a_2}{\alpha^2}-\dfrac{a_1}{\alpha}$$이므로, $$d_n=d_1+(n-1) \left( \dfrac{a_2}{\alpha^2}-\dfrac{a_1}{\alpha} \right) $$이다. 따라서 일반항 $$a_n= \left\{ \dfrac{a_1}{\alpha}+ \dfrac{a_2-\alpha a_1}{\alpha^2} (n-1) \right\} \alpha^n $$을 얻을 수 있다. (간단히 하면 $a_n=An\alpha^n+B\alpha^n$꼴)

5. $a_{n+1}=\dfrac{ra_n}{pa_n+q}$
양변에 역수를 취하면 $$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{pa_{n}+q}{ra_{n}}=\dfrac{q}{r}\dfrac{1}{a_{n}}+\dfrac{p}{r}$$이다. 새로운 점화식 $b_n=a_n^{-1}$을 정의하면 $$b_{n+1}=\dfrac{q}{r}b_{n}+\dfrac{p}{r}$$이다. 이는 3번 점화식의 형태이므로 위에서 구한 일반해를 이용하면 $$b_n-\dfrac{p}{r-q}=\left( \dfrac{q}{r} \right)^{n-1} \left(b_1-\dfrac{p}{r-q} \right)$$이다. 이를 $a_n$에 대하여 정리하면 일반항 $$a_n=\dfrac{1}{ \left( \dfrac{q}{r} \right) ^{n-1} \left( \dfrac{1}{a_1}-\dfrac{p}{r-q} \right) +\dfrac{p}{r-q}}$$을 얻을 수 있다.

 

6. $a_{n+1}=\dfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$

양변에 적절한 수를 빼주어 등차수열이나 등비수열의 형태를 만들어 주자. 그 수는 $a_{n+1}=a_n=x$로 두어 얻는 특성방정식을 풀어 찾자. $$x=\dfrac{rx+s}{px+q}$$ 이므로 $px^2+(q-r)x+s=0$ 특성방정식의 두 근을 $\alpha,\, \beta$라고 하자. 점화식을 정의하는 식의 양변에 $\alpha,\, \beta$를 뺀 후 위의 식을 이용하여 정리하면 $$\begin{eqnarray} a_n-\alpha && =\dfrac{ra_{n-1}+s}{pa_{n-1}+q}-\alpha \\ && =\dfrac{\left(r-p\alpha \right)a_{n-1}+\left(s-q\alpha \right)}{pa_{n-1}+q} \\ && =\left(r-p\alpha \right)\dfrac{a_{n-1}-\alpha }{pa_{n-1}+q}\end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} a_n-\beta && =\dfrac{ra_{n-1}+s}{pa_{n-1}+q}-\alpha \\ && =\dfrac{\left(r-p\beta \right)a_{n-1}+\left(s-q\beta \right)}{pa_{n-1}+q} \\ && =\left(r-p\beta \right)\dfrac{a_{n-1}-\beta }{pa_{n-1}+q} \end{eqnarray}$$을 얻는다.

먼저 $\alpha \ne \beta$인 경우를 해결하자. 이 두 식을 나누어주면 $$\dfrac{a_n-\alpha }{a_n-\beta }=\dfrac{r-p\alpha }{r-p\beta }\dfrac{a_{n-1}-\alpha }{a_{n-1}-\beta }$$이다. 새로운 점화식 $$b_n=\dfrac{a_n-\alpha }{a_n-\beta}$$을 정의하면 $$b_n=\dfrac{r-p\alpha }{r-p\beta }b_{n-1}$$이므로 $$b_n=b_1 \left(\dfrac{r-p\alpha }{r-p\beta }\right) ^{n-1}$$이다. 이를 $a_n$에 대한 식으로 바꾸어주면 $$\dfrac{a_n-\alpha }{a_n-\beta}= \dfrac{a_1-\alpha }{a_1-\beta} \left(\dfrac{r-p\alpha }{r-p\beta } \right)^{n-1}$$이다. 이를 정리하면 일반항$$a_n=\dfrac{\alpha X-\beta Y}{X-Y}$$을 얻을 수 있다. (단, $X=(a_1-\alpha)(r-p\alpha)^{n-1}$, $Y=(a_1-\beta)(r-p\beta)^{n-1}$)

다음으로 $\alpha=\beta$ 인 경우를 해결하자. 이 경우에는 특성방정식의 중근은 두 근의 합의 절반이므로 $$\alpha =-\dfrac{q-r}{2p}$$이다. 위에서 얻은 $$a_{n+1}-\alpha=\left(r-p\alpha \right)\dfrac{a_{n}-\alpha }{pa_{n}+q} $$을 에 이를 대입하면 $$a_{n+1}-\alpha=\dfrac{q+r}{2pa_n+2q}(a_n-\alpha)$$.이다. 양변에 역수를 취하면 $$\dfrac{1}{a_{n+1}-\alpha}=\dfrac{1}{a_n-\alpha}+\dfrac{2p}{q+r}$$이다. 새로운 점화식 $$b_n=\dfrac{1}{a_n-\alpha}$$을 정의하면 $$b_{n+1}=b_n+\dfrac{2p}{q+r}$$이므로 $$b_n=b_1+\dfrac{2p}{q+r}(n-1)$$이다. 이를 $a_n$에 대한 식으로 바꿔주면 일반항 $$a_n=\alpha+\dfrac{1}{\dfrac{1}{a_1-\alpha}+\dfrac{2p}{q+r}(n-1)}$$을 얻는다.

 

Exponential 17 김지하