정십칠각형의 작도 가능성 : cos2pi/17 구하기

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정십칠각형의 작도 가능성을 알아보기 전에 먼저 정오각형으로 연습하자.

 

정오각형의 작도 가능성

정오각형을 작도 가능성을 따지는 것은 $x^5=1$의 근의 작도 가능성을 따지는 것과 같다. $x^5=1$의 한 근을 $z$라고 하면 나머지 근들은 $z$, $z^2$, $z^3$, $z^4$, $z^5=1$이다. 여기서 $$z^n=\cos\dfrac{2n\pi}{5}+i \sin\dfrac{2n\pi}{5}$$ (단, $n$은 $5$ 이하의 자연수)라고 할 수 있다. 이때$$z=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i \sin\dfrac{2\pi}{5}$$ $$\begin{eqnarray} z^4 && =\cos\dfrac{8\pi}{5}-i \sin\dfrac{8\pi}{5} \\ && =\cos\dfrac{2\pi}{5}-i \sin\dfrac{2\pi}{5}\end{eqnarray}$$이므로 $$z+z^4=2\cos\dfrac{2\pi}{5}$$이다. 따라서 $z$를 구하면 $\cos\dfrac{2\pi}{5}$를 구할 수 있다. 구한 값이 작도 가능한 수라면 정오각형을 작도할 수 있다. 이제, $z$를 구해보자.

$z^5-1=0$에서 $z \neq 1$이므로, $$z^4+z^3+z^2+z+1=0$$이다. 이때, 다음과 같은 치환을 하자. $$a=z^4+z$$ $$b=z^3+z^2$$

$a$와 $b$의 합과 곱을 계산하면 $$\begin{aligned} a+b & =z^4+z+z^3+z^2 \\ & =-1 \\ ab & =(z^4+z)(z^3+z^2) \\ & =z^7+z^6+z^4+z^3 \\ & =(z^7+z^6+z^5+z^4+z^3)-z^5 \\ & =-1 \end{aligned}$$ 따라서 두 수 $z^4+z$와 $z^3+z^2$를 두 근으로 가지는 이차방정식은 $$x^2+x-1=0$$이다. 이 방정식의 근을 구하면 $$z^4+z=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$$이다. 따라서 $$\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$$이다. 얻은 수는 작도 가능한 수이므로 정오각형은 작도 가능하다.

 

정십칠각형의 작도 가능성

정십칠각형을 작도 가능성을 따지는 것은 $x^{17}=1$의 근의 작도 가능성을 따지는 것과 같다. $x^{17}=1$의 한 근을 $z$라고 하면 나머지 근들은 $z$, $z^2$, $\cdots$, $z^{16}$, $z^{17}=1$이다. 여기서 $$z^n=\cos\dfrac{2n\pi}{17}+i \sin\dfrac{2n\pi}{17}$$ (단, $n$은 $17$ 이하의 자연수)라고 할 수 있다. 이때 $$z=\cos\dfrac{2\pi}{16}+i \sin\dfrac{2\pi}{17}$$ $$\begin{eqnarray} z^{16} && =\cos\dfrac{32\pi}{17}+i \sin\dfrac{32\pi}{17} \\ && =\cos\dfrac{2\pi}{17}-i \sin\dfrac{2\pi}{17} \end{eqnarray}$$이므로 $$z+z^{16}=2\cos\dfrac{2\pi}{17}$$이다. 따라서 $z$를 구하면 $\cos\dfrac{2\pi}{17}$를 구할 수 있다. 구한 값이 작도 가능한 수라면 정십칠각형을 작도할 수 있다. 이제, $z$를 구해보자.

$z^{17}-1=0$에서 $z \neq 1$이므로, $$z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0$$이다. 이때, 다음과 같은 치환을 하자. $$\begin{aligned} a_0 & =z^{16}+z^{15}+z^{13}+z^9+z^8+z^4+z^2+z  \\ a_1 & =z^{14}+z^{12}+z^{11}+z^{10}+z^7+z^6+z^5+z^3\end{aligned}$$

$a_0$와 $a_1$의 합과 곱을 계산하면 $$\begin{aligned} a_0+a_1 & =z^{16}+z^{15}+\cdots+z^2+z \\ & =-1 \\ a_0a_1 & =(z^{13}+z^{11}+z^{10}+z^{9}+z^6+z^5+z^4+z^2)\\ & + (z^{12}+z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^5+z^4+z^3+z)\\ & +(z^{10}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^3+z^2+z+z^{16}) \\ &+(z^{6}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z^{16}+z^{15}+z^{14}+z^{12})\\ &+(z^{5}+z^{3}+z^{2}+z+z^{15}+z^{14}+z^{13}+z^{11}) \\ &+(z+z^{16}+z^{15}+z^{14}+z^{11}+z^{10}+z^9+z^7) \\ &+(z^{16}+z^{14}+z^{13}+z^{12}+z^9+z^8+z^7+z^5) \\ &+(z^{15}+z^{13}+z^{12}+z^{11}+z^8+z^7+z^6+z^4) \\ &=-4 \end{aligned}$$
따라서 $a_0,\,a_1$을 두 근으로 가지는 이차방정식은 $$x^2+x-4$$이다. 다음으로 다음과 같은 치환을 하자.

$$\begin{aligned} b_0 & =z^{16}+z^{13}+z^4+z \\ b_1 & =z^{14}+z^{12}+z^5+z^3 \\ b_2 & =z^{15}+z^{9}+z^{8}+z^{2} \\ b_3 & =z^{11}+z^{10}+z^7+z^6\end{aligned}$$ $b_0$와 $b_2$의 합과 곱을 계산하면 $$\begin{aligned} b_0+b_2 & = a_0 \\ b_0b_2 & = (z^{14}+z^8+z^7+z) \\ & +(z^{11}+z^5+z^4+z^{15}) \\ &+(z^2+z^{13}+z^{12}+z^6) \\ & +(z^{16}+z^{10}+z^{9}+z^{3}) \\ & = -1 \end{aligned}$$ $b_1$와 $b_3$의 합과 곱을 계산하면 $$\begin{aligned} b_1+b_3 & =a_1 \\ b_1b_3 & =(z^{8}+z^7+z^4+z^3) \\ & +(z^{6}+z^5+z^2+z) \\ & +(z^{16}+z^{15}+z^{12}+z^{11}) \\ & +(z^{14}+z^{13}+z^{0}+z^{9}) \\ & = -1 \end{aligned}$$ 따라서 $b_0$, $b_2$와 $b_1$, $b_3$을 두 근으로 가지는 이차방정식은 각각 $$\begin{aligned} x^2-a_0x-1 & = 0 \\ x^2-a_1x-1 & = 0 \end{aligned}$$이다. 다음으로 다음과 같은 치환을 하자. $$\begin{aligned} c_0 & =r+r^{16} \\ c_1 & =r^4 r^{13} \end{aligned}$$ $c_0$와 $c_1$의 합과 곱을 계산하면 $$\begin{aligned} c_0+c_1 & =b_0 \\ c_0c_1 & =(r+r^{16})(r^4+r^{13}) \\ & =r^5+r^{14}+r^{3}+r^{12}=b_1 \end{aligned}$$ 따라서 $c_0$, $c_1$를 두 근으로 가지는 이차방정식은 $$x^2-b_0x+b_1=0$$이다.

지금까지의 내용을 정리하면

$a_0$, $a_1$을 두 근으로 가지는 이차방정식 :  $x^2+x-4=0$

$b_0$, $b_2$을 두 근으로 가지는 이차방정식 : $x^2-a_0x-1=0$

$b_1$, $b_3$을 두 근으로 가지는 이차방정식 : $x^2-a_1x-1=0$

$c_0$, $c_1$를 두 근으로 가지는 이차방정식 :  $x^2-b_0x+b_1=0$

차례대로 해들을 구하자.

$$\begin{aligned} a_0 & =\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} \\ a_1&=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2} \\ b_0 & =\dfrac{-a_0+\sqrt{a_0^2+4}}{2} \\ & =\dfrac{(-1+\sqrt{17})+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4} \\ b_1 & =\dfrac{-a_1+\sqrt{a_1^2+4}}{2} \\ & =\dfrac{(-1-\sqrt{17})+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4} \\ c_0 &=\dfrac{b_0+\sqrt{b_0^2-4b_1}}{2} \\ &=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\sqrt{17}+\dfrac{1}{8}\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\ & + \dfrac{1}{8}\sqrt{68+12\sqrt{17}+2(-1+\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \end{aligned} $$

이때 $$c_0=z+z^{16}=2\cos\dfrac{2\pi}{17}$$이므로, $$\begin{eqnarray} \cos\dfrac{2\pi}{17} &&=-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\sqrt{17}+\dfrac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\ && + \dfrac{1}{16}\sqrt{68+12\sqrt{17}+2(-1+\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\end{eqnarray}$$이다. 얻은 수는 작도 가능한 수이므로 정십칠각형은 작도 가능하다.

 

Exponential 17 김지하