펠 방정식

펠 방정식

양의 정수 $d$, $N$에 대하여, $x$, $y$에 대한 방정식 $$x^2-dy^2=N$$을 펠 방정식이라고 한다. 펠 방정식의 해법에는 연분수의 개념이 필수로 필요하다. 이제, $d$와 $N$의 조건에 따른 해법들을 알아보자.

 

먼저, $d$가 완전제곱수가 아니고 $N=\pm1$일 때는 다음 정리를 이용하여 해를 구할 수 있다.

 

정리
$d$가 완전제곱수가 아닌 양의 정수이고 $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 제 $n$ 근사 분수를 $\frac{h_n}{k_n}$라 하자. 이때, $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 순환마디의 길이를 $r$이라 하면, 자연수 $i$에 대하여 $$h_{ir-1}^2-dk_{ir-1}^2=(-1)^{ir}$$이 성립한다.

 

증명
자연수 $i$에 대하여 무리수 $\sqrt{d}$의 연분수 전개는 다음과 같다. $$\begin{aligned} \sqrt{d} & =\left< a_0 \ ; \ a_1, \ \cdots, \ a_{ir-1}, \ x_ir \right>\\ x_{ir} & = \left< 2a_0 \ ; \ \dot{a_1}, \ a_2, \ \cdots, \ a_{r-1}, \ \dot{2a_0} \right> \\ & = a_0+\sqrt{d}\end{aligned}$$ 따라서, $$\sqrt{d}=\dfrac{x_{ir}h_{ir-1}+h_{ir-2}}{x_{ir}k_{ir-1}+k_{ir-2}}$$이다. 여기에 $x_{ir}=a_0+\sqrt{d}$을 대입하고 식을 정리하면, $$\begin{aligned} & \sqrt{d}\left(a_0k_{ir-1}+k_{ir-2}-h_{ir-1}\right) \\ & =a_0h_{ir-1}+h_{ir-2}-dk_{ir-1} \end{aligned}$$을 얻는다. $\sqrt{d}$은 무리수이고 우변은 유리수이므로, $$\begin{aligned} a_0k_{ir-1}+k_{ir-2} & = h_{ir-1} \\ a_0h_{ir-1}+h_{ir-2} & =dk_{ir-1} \end{aligned}$$이다. 첫 번째 식에 $h_{ir-1}$을 곱하고, 두 번째 식에 $k_{ir-1}$을 곱한 후 두 식을 빼면, $$h_{ir-1}^2-dk_{ir-1}^2=h_{ir-1}k_{ir-2}-h_{ir-2}k_{ir-1}=(-1)^{ir}$$이다.   $\blacksquare$

 

Exponential 17 김지하