베르누이 수와 리만 제타 함수

Def. Bernoulli numbers

베르누이 수는 다음과 같이 정의된다.

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n\ge 0} B_n\frac{x^n}{n!}$$

 

Some Bernoulli numbers

베르누이 수의 정의와 $e^x$의 테일러 급수를 이용하여 $$\left( \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!} \right) \left( e^x-1 \right)= \left( \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!} \right) \left( \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!} \right) = x$$이다. 즉, $$\left( \frac{B_0}{0!} x^0+ \frac{B_1}{1!} x^1 + \frac{B_2}{2!} x^2 + \cdots \right) \left( \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots \right) = x$$ 이제 각 항의 계수를 비교하여 베르누이 수들을 얻을 수 있다.

$x$ 계수 비교 : $\frac{B_0}{0! 1!}=1$

$x^2$ 계수 비교 : $\frac{B_0}{0! 2!} + \frac{B_1}{1! 1!}=0$

$x^3$ 계수 비교 : $\frac{B_0}{0! 3!} + \frac{B_1}{1! 2!} + \frac{B_2}{2! 1!}=0$

$x^4$ 계수 비교 : $\frac{B_0}{0! 4!} + \frac{B_1}{1! 3!} + \frac{B_2}{2! 2!} + \frac{B_3}{3! 1!}=0$

이 식들에서 몇몇 베르누이 수들을 얻을 수 있다.

$B_0=1$, $B_1=-1/2$, $B_2=1/6$, $B_3=0$,

$B_4=-1/30$, $B_5=0$, $B_6=1/42$, $B_7=0$

cf. 자연수 $n$에 대하여 $B_{2n+1}=0$이다.

 

Cotangient and the Herglotz trick

다음 등식을 증명하여 $\zeta(2n)$들의 값을 구할 것이다.

$$\pi\cot{\pi x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty {\left(\frac{1}{x+n}+\frac{1}{x-n}\right)} \qquad\left( x\in \mathbb R/ \mathbb Z \right)$$

pf) $f(x)=\pi\cot{\pi x}$, $g(x)=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}$을 정의하자. 이제 이 두 함수의 공통점들을 찾아보자.

 

1. $f$, $g$는 정수를 제외한 모든 수에서 정의되며, 그러한 점들에서 연속이다.

pf) $f(x)=\pi \frac{\cos \pi x}{\sin \pi x}$에 대하여는 자명하다.

$g(x)=\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2-x^2}$로 고쳐쓰고, $x \notin \mathbb Z$에 대하여 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-x^2}$이 $x$ 근방에서 균등수렴함을 보이자.

$n=1$일 때와 $2n-1\le x^2$ 일 때 : $n$이 유한개이므로 문제가 없다. 

$n \ge 2$이고 $2n-1>x^2$ 일 때 : 이 조건을 만족하는 항들은 $n^2-x^2>(n-1)^2>0$, $0<\frac{1}{n^2-x^2}<\frac{1}{(n-1)^2}$로 한계가 주어진다. (이 부등식은 $x$와 $x$ 근방의 값에 대하여 모두 성립) $\sum \frac{1}{(n-1)^2}$이 수렴하므로 증명이 완료되었다.

 

2. $f$, $g$는 주기를 $1$로 가지는 주기함수이다.

즉, $x \in \mathbb R/\mathbb Z$에 대하여 $f(x+1)=f(x), g(x+1)=g(x)$이다.

pf) $f(x)= \frac{\pi\cos \pi x}{\sin \pi x}$에 대하여는 자명하다.

$g_N(x)=\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}$라 하면, $g(x)=\lim_{N \to \infty} g_N(x)$가 된다. $$g_N(x+1)=\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n+1}=\sum_{x=-N+1}^{N+1} \frac{1}{x+n}=g_{N-1}(x)+\frac{1}{x+N}+\frac{1}{x+N+1}$$ 이므로, $N \to \infty$을 취하여 $g(x+1)=g(x)$를 얻는다.

 

3. $f,g$는 모두 기함수이다.

즉, $x \in \mathbb R / \mathbb Z$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$, $g(-x)=g(-x)$가 성립한다.

pf) $f(x)$는 기함수임은 자명하다. $g_N(-x)=-g_N(x)$임도 자명하므로 증명이 완료되었다.

 

4. $f$, $g$는 다음 동일한 함수방정식을 가진다.

$f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})=2f(x)$, $g(\frac{x}{2})+g(\frac{x+1}{2})=2g(x)$

pf) $f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})=\pi \left( \frac{\cos\frac{\pi x}{2}}{\sin\frac{\pi x}{2}}-\frac{\sin\frac{\pi x}{2}}{\cos\frac{\pi x}{2}} \right)=2\pi \frac{\cos(\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi x}{2})}=2f(x)$가 성립한다.

$\frac{1}{\frac{x}{2}+n}+\frac{1}{\frac{x+1}{2}+n}=2\left( \frac{1}{x+2n}+\frac{1}{x+2n+1} \right)$로부터 $g_N(\frac{x}{2})+g_N(\frac{x+1}{2})=2g_{2N}(x)+\frac{2}{x+2N+1}$이므로 $N \to \infty$을 보내어 $g(\frac{x}{2})+g(\frac{x+1}{2})=2g(x)$이 성립한다.

 

위에서 살펴본 $f$와 $g$의 공통점을 이용하여 두 함수가 같음을 증명할 것이다.

$$h(x)=f(x)-g(x)=\pi cot\pi x-(\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2-x^2})$$

을 정의하고 $h$가 $0$임을 보이면 된다.

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} h(x) & =\lim_{x \to 0}(\pi\cot\pi x-\frac{1}{x})=\lim_{x \to 0} \frac{\pi x\cos\pi x-\sin\pi x}{x\sin\pi x} \\ & =\lim_{x \to 0} \frac{\pi\cos\pi x-\pi^2x\sin\pi x-\pi\cos\pi x}{\sin\pi x+\pi x\cos\pi x}\\ & =\lim_{x \to 0} \frac{-\pi^2 x\sin\pi x}{\sin\pi x+\pi x\cos\pi x} \\ & =\lim_{x \to 0} \frac{-\pi^2 x\sin\pi x-\pi^3 x\cos\pi x}{\pi\cos\pi x+\pi\cos\pi x-\pi^2x\sin\pi x}=0 \end{aligned}$$

$h(x)$은 주기가 $1$이므로 $n\in\mathbb Z$ 에 대하여 $\lim_{x\to n}f(x)=0$이다. 즉, $h(x)$를 정수 $x$에서는 $h(x)=0$으로 정의하면 $h(x)$는 모든 $\mathbb R$에서 연속인 연속함수이다. $h$는 연속인 주기함수이므로 최댓값을 가지고 이를 $m$이라 하자. $x_0 \in \left[ 0,1 \right)$에 대하여 $h(x_0)=m$이라 하자.

4.에서 $h(\frac{x_0}{2})+h(\frac{x_0+1}{2})=2m$이다. 이때, $h(\frac{x_0}{2}),h(\frac{x_0+1}{2}) \leq m$이므로 $h(\frac{x_0}{2})=m$이다. 이를 계속 반복하여 $h(\frac{x_0}{2^n})=0$이고, $n \to \infty$를 하면 함수 $h$의 연속성에 의하여 $h(0)=m$이 된다. 이때 $h(0)=0$이므로 $m=0$이다. 즉, $h(x)=0$이다.

따라서 $f(x)=g(x)$가 증명되었다.   $\blacksquare$

 

Even Reihman Zeta Function

Cotangient and the Herglotz trick에서 $\pi x=y$로 치환하자. 그러면 $$y\cot y=1-2\sum_{n=1}^\infty \frac{y^2}{\pi^2n^2-y^2}$$이다. 여기서 $$y\cot y=1-2\sum_{n=1}^\infty \frac{y^2}{\pi^2n^2}\frac{1}{1-(y/\pi n)^2}$$에서 $|y|<1$인 경우에는 맨 마지막 항을 등비가 $(y/\pi n)^2$인 무한등비급수로 해석할 수 있다. 따라서 다음과 같이 적는다. $$y\cot y=1-2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty(y/\pi n)^{2k}=1-2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{\pi^{2k}}\sum_{n=1}^\infty n^{-2k} \right)y^{2k}$$ 즉, $y\cot y$의 멱급수 형태에서 $y^{2k}$의 계수는 $-\left(2/\pi^{2k}\right)\zeta(2k)$이다.

또한 $$\cot\theta=i\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}$$임을 이용하면 $$y\cot y=iy\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{e^{iy}-e^{-iy}}=iy+\frac{e^{2iy}+1}{e^{2iy}-1}$$으로도 쓸 수 있다. 베르누이 수의 정의를 이용하면 $$y\cot y=\sum_{k=0}^\infty B_{2k}\frac{(2iy)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$$와 같은 멱급수로 정리된다. 위에서의 결과와 $y^{2k}$의 계수와 비교하면, $$\zeta(2k)=\frac{(-1)^{k-1}2^{2k-1}B_{2k}}{(2k)!}$$이다.

 

Exponential 17 김지하 18 고주원