n=4일 때 페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리 (Fermat's Last Theorm, FLT)

$n$이 $3$ 이상의 정수일 때 방정식 $$x^n+y^n=z^n$$을 만족하는 자명하지 않은 정수해 쌍 $(x, y, z)$은 존재하지 않는다.

 

$n=4$일 때 페르마가 남긴 증명을 살펴봅시다. 증명에서는 무한강하법이라는 논리가 사용됩니다.

 

무한강하법 (Method of Infinite Descent)

공집합이 아닌 자연수의 부분 집합에는 항상 최솟값 존재한다는 성질을 이용해서 모순을 이끌어 내는 증명 방법 중 하나로 귀류법의 한 종류이다.

 

Fermat의 증명

주어진 방정식을 간단하게 $$x^4+y^4=z^2$$으로 바꾸어 생각하자. 이 방정식의 양의 정수해 $(x, y, z)$가 존재한다고 가정하자. $x$와 $y$가 공약수를 가진다면 $z$도 같은 공약수를 가지므로 이를 나눌 수 있다. 따라서 $x$, $y$, $z$을 모두 서로소인 쌍으로 둘 수 있다.

$x$와 $y$가 둘 다 짝수이면 $z$도 짝수이므로 서로소에 모순이다. 따라서 다음 두 경우를 생각할 수 있다.

 

1. $x$, $y$는 홀수, $z$는 짝수

2. $x$는 짝수, $y$, $z$는 홀수

 

1번 경우를 생각하자. $x^4+y^4=z^2$에서 좌변은 $4$로 나눈 나머지가 $2$인데, 제곱수가 $4$로 나눈 나머지가 $2$일 수는 없으므로 1번 경우는 가능하지 않다.
따라서 가능한 2번 경우만을 생각하자. 위의 과정에 의해
$$\begin{aligned} x^2 & = 2ab \\ y^2 & = a^2-b^2 \\ z & = a^2+b^2 \end{aligned}$$인 서로소인 정수 $a$, $b$가 존재한다. (단, $a>b$) $y$가 홀수라는 사실에서 $y^2=a^2-b^2$을 $4$로 나눈 나머지는 $1$이므로, $a$는 홀수, $b$는 짝수이다. 따라서 $b=2c$라 두자. 이때 여전히 $a$와 $c$는 서로소이다.

$x=2ab=a(4c)$에서 $a$와 $4c$는 서로소이다. 서로소인 두 수의 곱이 제곱수이므로, 각각의 수도 제곱수이다. 따라서 $a$와 $4c$는 각각 제곱수이다. 따라서 $a=u^2$, $4c=4v^2$이라 두자. 즉, $a=u^2$, $b=2v^2$으로 두자. 이 식을 $y^2=a^2-b^2$에 대입하면 $y^2=u^4-4v^4$ 즉,  $(2v^2)^2+y^2=(u^2)^2$을 얻는다. $2v^2$와 $y$가 서로소이고, $2v^2$이 짝수이므로 다시 $$\begin{aligned} 2v^2&=2lm \\ y&=l^2-m^2 \\ u^2&=l^2+m^2 \end{aligned}$$인 서로소인 정수 $l$, $m$이 존재한다. (단, $l>m$)

이때 $2v^2=2lm$에서 $v^2=lm$이고, $l$와 $m$은 서로소이므도 $l$와 $m$은 각각 제곱수이다. 따라서 $l=r^2$, $m=s^2$라 둘 수 있다. 이를 위의 3번째 식에 대입하면 $u^2=r^4+s^4$을 얻는다. 이는 처음에 가정했던 방정식과 동일하다. 이때, $$u \le u^2 = a \le a^2 <a^2+b^2=z$$이다. 따라서 $u<z$을 만족하는 정수해가 항상 존재한다. 이는 무한강하법에 모순이다. 따라서 n=4일 때 페르마의 마지막 정리는 성립한다.   $\blacksquare$

 

Exponential 17 김지하