라그랑주 네 제곱수 정리

라그랑주 네 제곱수 정리

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 다음을 만족하는 4개의 음이 아닌 정수 $x$, $y$, $z$, $w$가 존재한다. $$n=x^2+y^2+z^2+w^2$$

 

증명에는 보조정리 2개가 사용됩니다.

 

보조정리 1

자연수 $m, n$이 네 개의 제곱수의 합으로 표현된다면, $mn$도 그러하다.

pf) 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $z$, $w$에 대하여 $$\begin{aligned} m & =a^2+b^2+c^2+d^2 \\ n & =x^2+y^2+z^2+w^2\end{aligned}$$라 하자. 그러면 오일러의 네 제곱수 항등식(https://kimjiha.tistory.com/24)에 의하여, $$ \begin{align} & \left(a^2+b^2+c^2+d^2 \right)\left( x^2+y^2+z^2+w^2 \right) \\ & =\left( -ax+by+cz+dw \right)^2 \\ & +\left( ay+bx+cw-dz \right)^2 \\ & +\left( az-bw+cx+dy \right)^2 \\ & +\left( aw+bz-cy+dx \right)^2 \end{align}$$이므로 $mn$도 네 개의 제곱수의 합으로 표현된다.

 

보조정리 2

홀수 소수 $p$에 대하여 $a^2+b^2+1=kp$인 정수 $a$, $b$와 $p$보다 작은 자연수 $k$가 존재한다.

pf) 자연수 $n$에 대하여 $p=2n+1$이라 하자. 그 후 다음 세 집합을 정의하자. $$\begin{eqnarray} && A= \left\{ a^2 \mid a=0,1,\cdots,n \right\} \\&& B= \left\{ -b^2-1 \mid b=0,1,\cdots,n \right\} \\&& C= \left\{ 0,1,\cdots,p-1 \right\} \end{eqnarray}$$ $A$의 서로 다른 두 원소 $x^2$, $y^2$이 $\mathrm{mod} \ p$에 대하여 같다고 가정하자. 그러면, $$p \mid x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$이다. 먼저, $p \mid x+y$라 하자. 이때, $0<x+y<2n<p$이므로 이는 불가능하다. 다음으로, $p \mid x-y$라 하자. 이때는 $-n \le x-y \le n$이므로 $x-y=0$만 가능하다. 이는 $x^2$와 $y^2$이 서로 다른 원소라는 가정에 모순이므로 이 또한 불가능하다. 따라서 $A$의 원소들은 $\mathrm{mod} \ p$에 대하여 모두 서로 다르다. 이는 $B$에서도 마찬가지이다. 따라서 $\mathrm{mod} \ p$에 대하여 $\left\vert A \right\vert = \left\vert B \right\vert =n+1$이다.

$\mathrm{mod} \ p$에 대하여 $A \cap B=\varnothing$이라 가정하자. 그러면, $$\left\vert A \cup B \right\vert = (n+1)+(n+1)=2n+2$$인데, 이때 $A \cup B \subseteq C$이므로 $\left\vert C \right\vert =2n+1$이므로 모순이다. 따라서 $A \cap B \ne \varnothing$이다. 즉, $A$와 $B$의 원소 중 $\mathrm{mod} \ p$에 대하여 같은 쌍이 반드시 존재한다. 그 두 쌍을 $a^2$와 $-b^2-1$이라고 하면, $a^2+b^2+1 \equiv 0 \pmod p$이다. 따라서, $a^2+b^2+1=kp$인 자연수 $k$가 존재한다. 이때, $$\begin{eqnarray} kp && =a^2+b^2+1 \le n^2+n^2+1 \\ && =2n^2+1<(2n+1)^2=p^2 \end{eqnarray}$$이므로 $k<p$이다.

 

두 보조정리를 이용하여 라그랑주 네 제곱수 정리를 증명하자.

 

증명

보조정리 1에 의하여 주어진 명제는 $1$와 소수에 대해서만 증명해도 충분함을 알 수 있다. $n=1,2$일 때는 $$\begin{aligned} 1 & =1^2+0^2+0^2+0^2 \\ 2 & =1^2+1^2+0^2+0^2 \end{aligned}$$이므로 성립한다. 이제, 홀수 소수 $p$에 대하여 명제를 증명하자.

네 제곱수의 합으로 표현될 수 있는 가장 작은 $p$의 배수를 $kp$라고 하자. 그 후, 음이 아닌 정수 $x$, $y$, $z$, $w$에 대하여 $$kp=x^2+y^2+z^2+w^2$$라 하자. 보조정리 2에 의하여 $k$는 $p$보다 작은 자연수이다. (왜냐하면 $kp=a^2+b^2+1^2+0^2$으로, 네 제곱수의 합으로 표현되기 때문이다.)

먼저, $2 \mid k$인 경우를 살펴보자. $kp=x^2+y^2+z^2+w^2 \equiv 0 \pmod 2$이므로 일반성을 잃지 않고 $x \equiv y \pmod 2$, $z \equiv w \pmod 2$라 하자. 그러면, $$\begin{align} & \left(\dfrac{k}{2} \right) p \\ &  =\left(  \dfrac{x+y}{2} \right)^2+\left(  \dfrac{x-y}{2} \right)^2 \\ & +\left(  \dfrac{z+w}{2} \right)^2+\left(  \dfrac{z-w}{2} \right)^2 \end{align}$$에서 $\frac{k}{2}p$ 또한 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다. 이는 $kp$가 최소임에 모순이다.

다음으로, $2 \nmid k$이며 $k \ge 3$인 경우를 살펴보자. $kp=x^2+y^2+z^2+w^2 \equiv 0 \pmod k$이므로 $\mathrm{mod} \ k$에 대하여 $$ x \equiv a \quad y \equiv b \quad z \equiv c \quad w \equiv d$$이면서 절댓값이 최소인 정수 $a$, $b$, $c$, $d$을 잡자. 그러면, $$\begin{align} & nk \\ & =\left\vert a \right\vert ^2+\left\vert b \right\vert ^2+\left\vert c \right\vert ^2+\left\vert d \right\vert ^2 \\ & =a^2+b^2+c^2+d^2 \end{align}$$ 인 정수 $n$이 존재한다. 그런데, $$\left\vert a \right\vert, \left\vert b \right\vert, \left\vert c \right\vert, \left\vert d \right\vert < \dfrac{k}{2}$$이므로 $$nk=a^2+b^2+c^2+d^2<4\left(\dfrac{k}{2}\right)^2=k^2$$이므로 $0 \le n<k$이다.

첫 번째로, $n=0$인 경우를 살펴보자. 이때는 $a=b=c=d=0$이다. 따라서 $$x \equiv y \equiv z \equiv w \equiv 0 \pmod k$$이다. 이때, $$\dfrac{p}{k} =\left( \dfrac{x}{k} \right)^2+\left( \dfrac{y}{k} \right)^2+\left( \dfrac{z}{k} \right)^2+\left( \dfrac{w}{k} \right)^2 \in \mathbb{N}$$이므로 $k \le p$이다. 그러나 보조정리 2에서 $0<k<p$이므로 모순이다.

다음으로 $n \ne 0$인 경우를 살펴보자. 두 식 $$\begin{aligned} nk & =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +d ^{2} \\ kp & =x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +w ^{2} \end{aligned}$$에서 보조정리 1을 사용하면 다음과 같이 $$nk ^{2} p=p ^{2} +q ^{2} +r ^{2} +s ^{2}$$네 제곱수의 합으로 표현된다. 이때, $p$, $q$, $r$, $s$는 각각 $$\begin{aligned} p & =ax+by+cz+dw \\ q & =ay-bx-cw+dz \\ r & =az-bw-cx+dy \\ s & =aw+bz-cy-dx \end{aligned}$$이다. 이때, $$x \equiv a \quad y \equiv b \quad z \equiv c \quad w \equiv d \pmod k$$이므로, $$p, q, r, s \equiv d \pmod k$$가 된다. 따라서, $$\begin{align} & \dfrac{nk^2p}{k^2}=np \\ & = \left( \dfrac{p}{k} \right)^2 + \left( \dfrac{q}{k} \right)^2 + \left( \dfrac{r}{k} \right)^2 + \left( \dfrac{s}{k} \right)^2 \end{align}$$이므로 $np$은 네 제곱수의 합으로 표현된다. 그런데 $n<k$이므로, 이는 $kp$가 최소라는 가정에 모순이다.

따라서, $n=1$만 가능하다. 따라서 라그랑주 네 제곱수 정리가 증명되었다.   $\blacksquare$

 

Exponential 17 김지하