라그랑주 네 제곱수 정리
라그랑주 네 제곱수 정리 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 다음을 만족하는 4개의 음이 아닌 정수 $x$, $y$, $z$, $w$가 존재한다. $$n=x^2+y^2+z^2+w^2$$ 증명에는 보조정리 2개가 사용됩니다. 보조정리 1 자연수 $m, n$이 네 개의 제곱수의 합으로 표현된다면, $mn$도 그러하다. pf) 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $z$, $w$에 대하여 $$\begin{aligned} m & =a^2+b^2+c^2+d^2 \\ n & =x^2+y^2+z^2+w^2\end{aligned}$$라 하자. 그러면 오일러의 네 제곱수 항등식(https://kimjiha.tistory.com/24)에 의하여, $$ \begin{align} & \left(a^2+..
2022. 10. 24.
베르트랑 공준
베르트랑 공준 모든 자연수 $n$에 대하여, $n < p \le 2n$을 만족하는 소수 $p$가 존재한다. 증명 크게 7단계로 나누었다. Step 1. $n \le 4000$에 대하여 베르트랑의 공준이 성립함을 실험적으로 확인하자. 바로 앞의 소수의 $2$배보다 작은 소수들의 수열 $$2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163,$$ $$317, 631, 1259, 2503, 4001$$이 존재한다. 따라서 $n\le 4000$에 대하여 구간 $\left( n,2n \right]$은 위의 $14$개의 소수들 중 하나를 포함하므로, 베르트랑의 공준이 성립한다. Step 2. $2$ 이상인 자연수 $a$에 대하여 $a+1
2022. 9. 10.
유클리드 호제법
유클리드 호제법 정수 $a$, $b$, $n$에 대하여 $$(a,b)=(a,b+an)$$이다. 참고로, 유클리드 호제법을 자연수 $a$를 $b$로 나눈 몫을 $q$, 나머지를 $r$라고 할 때 $(a,b)=(b,r)$로 알고 있는 사람들도 많은데, 꼭 몫이나 나머지일 필요도 없고 자연수일 필요도 없습니다. 증명을 위해서 다음 보조정리를 사용합시다. 보조정리 자연수 $p$와 $q$ 에 대하여 $p \mid q$ 이고 $q \mid p$ 이면 $p=q$이다. 증명 최대공약수 $(a,b)=p$, $(a,b+an)=q$라 하자. 먼저 $p \mid a$, $p \mid b$이므로 $p \mid b+an$을 얻는다. 따라서 $p$는 $a$와 $b+an$의 공약수. 어떤 두 수의 공약수는 그 두 수의 최대공약수의 ..
2022. 9. 3.
소수의 무한성 증명
유클리드의 증명 귀류법으로 소수가 $n$개로 유한하다고 가정하고, 그 유한한 소수들의 집합을 $P=\left\{ p_1,\,p_2,\,\cdots,\,p_n \right\}$라 하고, 새로운 수 $N=p_1\,p_2\, \cdots \,p_n+1$을 정의하자. $N$은 $p_k$ ($k$는 $n$ 이하의 자연수)보다 큰 자연수이므로 $N \notin P$이다. 따라서 $N$은 합성수이므로, $\dfrac{N}{p_k} \in \mathbb{N}$이도록 하는 $p_k$가 존재해야 한다. $$\begin{eqnarray} && \dfrac{N}{p_k}=\dfrac{p_1\,p_2\,\cdots\,p_n+1}{p_k} \\ && =p_1\,p_2\,\cdots\,p_{k-1}\,p_{k+1}\,\cdots\..
2022. 8. 23.
아이젠슈타인 판정법
아이젠슈타인 판정법 정수 계수 다항식 $$P(x)=a _{n} x ^{n} +a _{n-1} x ^{n-1} + \cdots +a _{1} x+a _{0}$$(단, $n \in \mathbb{N}$)에 대하여 다음 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하면, $P(x)$는 정수 계수 범위에서 기약다항식(더 이상 인수분해 되지 않는 다항식)이다. $$\begin{eqnarray} && p \nmid a_n \\ && p\mid a _{n-1},\,a _{n-2},\, \cdots,\, a _{2},\,a _{1} \\ && p ^{1} \mid \mid a _{0} \end{eqnarray} $$ 증명 귀류법으로, 정수 계수 다항식 $P(x)$에 대하여 위의 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하고, $P(x)..
2022. 8. 10.
