바이어슈트라스 근사 정리

이번 포스팅에서는 바이어슈트라스 근사 정리를 증명해볼 것이다. (사실 너무 과하다 싶을 정도로 본문에 자세하게 설명하였다..)

 

바이어슈트라스 근사 정리 

$f$가 $[a,b]$에서 연속인 복소함수라고 하면 $[a,b]$에서 함수 $f$로 균등수렴(Uniform Convergence)하는 다항함수열 $P_n$가 존재한다. 특히, $f$가 실함수이면 $P_n$도 실함수이다.

 

증명 

일반성을 잃지 않고 $[a,b]=[0,1]$, $f(0)=f(1)=0$이라 가정할 수 있다. 첫 번째 가정은 원래함수를 $x$축 방향으로 $\frac{1}{b-a}$배 축소한 뒤에 이 함수로 균등수렴하는 다항함수열 $P_n$을 구하고 이 $P_n$을 $x$축 방향으로 $b-a$배 확대해도 상관없기 때문에 가능하다. 두 번째 가정의 경우에는, 예를 들어 $$g(x)=f(x)-f(0)-x(f(1)-f(0))$$ (단, $0 \le x \le 1$)을 정의하면 $g(0)=g(1)=0$이 된다. 만약 $g$로 균등수렴하는 다항함수열을 찾을 수 있다면, 그에 $f(0)+x(f(1)-f(0))$을 더함으로써 $f$로 균등수렴하는 다항함수열을 구할 수 있다. 따라서 일반성을 잃지 않고 위와 같이 가정할 수 있다. 또한 $[0,1]$ 밖의 $x$에 대하여 $f(x)=0$이라 정의할 수 있다.

$$\displaystyle\int_{-1}^1 Q_n(x)\, dx=1$$을 만족하는 $c_n$에 대하여 $$Q_n(x)=c_n\left(1-x^2\right)^n$$라 하자. (단,  $ n\in \mathbb{N} $) 그러면, $$\begin{align} \displaystyle\int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)^n\ dx & =2\displaystyle\int_{0}^1 \left(1-x^2\right)^n\ dx \\ & \ge 2\displaystyle\int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} \left(1-x^2\right)^n dx \\ & \ge 2\displaystyle\int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} \left(1-nx^2\right) \mathrm{dx} \\ &=\dfrac{4}{3\sqrt{n}} \\ &>\dfrac{1}{\sqrt{n}} \end{align}$$가 성립하고 따라서 $c_n<\sqrt{n}$이다.

 

첫 번째 줄에서 두 번째 줄로 넘어가는 과정을 약간 더 살펴보자. $\left(1-x^2\right)^n-1+nx^2$라는 함수를 살펴보면 $x=0$에서 함숫값이 $0$이고 도함수가 구간 $(0,1)$에서 양수이므로 $(0,1)$에서 $\left(1-x^2\right)^n\ge 1-nx^2$임을 알 수 있다.

 

어쨋든 $c_n<\sqrt{n}$라는 결과를 얻었는데 모든 양수 $\delta$에 대해 $\delta\le \left\vert x \right\vert\le 1$이면 $0\le (1-x^2)\le (1-\delta^2)$임을 생각해보면, 모든 양수 $\delta$에 대해 $$Q_n(x)\le \sqrt{n}\left(1-\delta^2\right)^n$$ (단, $\delta\le \left\vert x \right\vert\le 1$)가 성립함을 알 수 있다. 이로부터 $\delta\le \left\vert x \right\vert\le 1$에서 $Q_n$이 $0$으로 균등수렴한다.

 

$$P_n(x)=\displaystyle\int_{-1}^1 f(x+t)Q_n(t) dt$$(단, $0 \le x \le 1$)라 하자. $$\begin{eqnarray} P_n(x) && =\displaystyle\int_{-1}^{-x} f(x+t)Q_n(t) dt \\ && +\displaystyle\int_{-x}^{1-x} f(x+t)Q_n(t) dt\\ && +\displaystyle\int_{1-x}^1 f(x+t)Q_n(t) dt \end{eqnarray}$$인데, 앞에서 $[0,1]$ 밖의 $x$에 대하여 $f(x)=0$이라 정의하였으므로 두 식 $$\displaystyle\int_{-1}^{-x} f(x+t)Q_n(t) dt$$ $$\displaystyle\int_{1-x}^1 f(x+t)Q_n(t) dt$$의 값은 $0$이다. 따라서 $$\begin{eqnarray} P_n(x)&& =\displaystyle\int_{-x}^{1-x} f(x+t)Q_n(t) dt \\ && =\displaystyle\int_0^1 f(t)Q_n(t-x) dt \end{eqnarray}$$이다.

 

마지막 식을 보면 이 식이 $x$에 대한 다항식임을 알 수 있다. 또 $f$가 실함수라면 $P_n$도 실함수이다.

 

$f$는 $[-1,2]$에서 연속이므로 균등연속성 정리(Uniform Continuity Theorem)에 의해 $f$는 $[-1, 2]$에서 균등연속이다. 균등연속의 정의에 의해 모든 $\epsilon>0$에 대해 $\delta(\epsilon)>0$이 존재하여 $$x,y\in [-1,2]\land \left\vert y-x\right\vert < \delta$$이면 $$\left\vert f(y)-f(x) \right\vert <\dfrac{\epsilon}{2}$$을 만족한다.

 

$f$는 $\mathrm{I}=[0,1]$에서 연속이므로 유계성 정리(Boundedness Theorem)에 의해 $f(\mathrm{I})$는 유계이다. $[0,1]$ 밖의 $x$에 대하여 $f(x)=0$이라 정의하였으므로 $f$의 치역은 유계이다. 따라서 완비성 공리에 의해 $M=\sup\left\vert f(x)\right\vert$가 존재한다.

 

$Q_n(x)\ge 0$이고 $0\le x\le 1$이므로 충분히 큰 $n$에 대하여 다음이 성립한다. (부연설명은 식 뒤에 있음)

$$\begin{align} & \left\vert P_n(x)-f(x)\right\vert \\ &=\left\vert \displaystyle\int_{-1}^1 [f(x+t)-f(x)]Q_n(t) dt \right\vert \\ & \le \displaystyle\int_{-1}^1 \left\vert f(x+t)-f(x)\right\vert Q_n(t) dt\\ &\le 2M\displaystyle\int_{-1}^{-\delta} Q_n(t) dt \\ & +\dfrac{\epsilon}{2} \displaystyle\int_{-\delta}^{\delta} Q_n(t) dt+2M\displaystyle\int_{\delta}^1 Q_n(t) dt \\ & \le 4M\sqrt{n} \left(1-\delta^2\right)^n+\dfrac{\epsilon}{2}\\ &< \epsilon \end{align}$$ $Q_n(x)\ge 0$임에 유의하여라. 첫 번째 줄은 $$\displaystyle\int_{-1}^1 Q_n(x)\, dx=1$$라는 사실에서 알 수 있다. 즉, $$f(x)=\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)Q_n(t) dt$$이다. 세 번째 줄에서 첫 번째 항과 세 번째 항은 $$\begin{eqnarray} \left\vert f(x+t)-f(x)\right\vert && \le \left\vert f(x+t)\right\vert +\left\vert f(x)\right\vert \\ && \le 2M\end{eqnarray}$$에서 유도된다. 두 번째 항은 $0\le x\le 1$, $0<\delta\le \left\vert x \right\vert\le 1$일 때 $x+t$, $x\in [-1,2]$이고 $f$는 이 구간에서 균등연속이라는 사실로부터 $$\left\vert f(x+t)-f(x)\right\vert <\dfrac{\epsilon}{2}$$을 얻는다. 네 번째 줄은 자명...이라고 하고 싶지만 조금만 설명해보자.. 일단 첫 번째, 세 번째 항은 적분 구간의 길이가 $1$보다 작으니 $\delta$값의 범위를 고려하면 $$\begin{eqnarray} 2M\displaystyle\int_{\delta}^1 Q_n(t) dt && \le 2M\displaystyle\int_{\delta}^1 \sqrt{n}\left(1-\delta^2\right)^n dt \\ && \le 2M\sqrt{n}\left(1-\delta^2\right)^n\end{eqnarray}$$이다. 유사하게 $$\begin{eqnarray} 2M\displaystyle\int_{-1}^{-\delta} Q_n(t) dt && \le 2M\displaystyle\int_{-1}^{-\delta} \sqrt{n}\left(1-\delta^2\right)^n \\ && dt \le 2M\sqrt{n}\left(1-\delta^2\right)^n \end{eqnarray}$$이다. 두 번째 항은 $$\displaystyle\int_{-1}^1 Q_n(x) dx=1$$인데 적분 구간이 이보다 더 짧아졌기 때문이다. 다섯 번째 줄은 $$4M\sqrt{n}\left(1-\delta^2\right)^n$$이 0으로 수렴하는 수열이기 때문에 충분히 큰 $n$에 대하여 $$4M\sqrt{n}\left(1-\delta^2\right)^n<\dfrac{\epsilon}{2}$$이 성립한다.

 

충분히 큰 $n$에 대하여 $$\left\vert P_n(x)-f(x)\right\vert <\epsilon$$가 성립하므로 $[0,1]$에서 함수 $f$로 균등수렴하는 다항함수열 $P_n$가 존재한다. 따라서 원래의 주장 "$f$가 $[a,b]$에서 연속인 복소함수라고 하면 $[a,b]$에서 함수 $f$로 균등수렴(Uniform Convergence)하는 다항함수열 $P_n$가 존재한다. 특히, $f$가 실함수이면 $P_n$도 실함수이다."는 참이다.     $\blacksquare$

 

스톤-바이어슈트라스 정리 

이후에 스톤은 이를 더욱 일반화하였는데 그 형태는 다음과 같다.

$X$가 컴팩트 거리공간이라고 하자. $\mathcal{A}$가 $C(X)$의 대수이고 $X$의 점을 분리시키며 상수함수를 원소로 가지면 $\mathcal{A}$는 $C(X)$에서 균등조밀(Uniformly Dense)하다.

 

요즘 핫하다는 midjourney로 그림 한 번 그려봤습니다.

Exponential 17 최정원