1. 원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화
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[논문]원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화
본 논문에서는 학교수학에서 발견할 수 있는 순환논법의 예로서 고등학교 미분과 적분 교과서에서 정적분을 통해 원의 넓이를 구하는 과정에서 발견되는 순환논법을 수학적으로 분석하고, 학
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미적분 교과서에는 원의 넓이를 $$2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}$$로 구합니다. 이 적분값을 구하는 과정에서 $\sin x$의 도함수가 $\cos x$임을 사용하게 됩니다. 이것은 $$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$임을 이용하여 증명되는데 증명하는 과정에서 부채꼴의 넓이가 $\frac{1}{2}x$임을 가정하고 씁니다. 정석에서도 다음과 같이 증명되어 있습니다.
그런데 부채꼴의 넓이가 $\dfrac{1}{2}x$인 것은 반지름이 1인 원의 넓이가 $\pi$인 것에서 유도됩니다. 따라서 순환논법인 것입니다. 원의 넓이에 관한 공식은 초등학교에서 배우는데 위와 같이 증명합니다. 이 증명에서는 각도가 $0$에 가까워지면 현의 길이와 호의 길이가 같아진다는 논리를 이용한 것입니다. 이것을 수식으로 나타내보면 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2\sin\dfrac{\pi}{n}}{\dfrac{2\pi}{n}}=1$$이므로 $$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$이 내재되어 있습니다.
아르키메데스의 증명이나 스튜어트 미분적분학, Exeter 고등학교의 미적분학 교재를 보면 이러한 순환논법은 없지만 아르키메데스와 스튜어트 미분적분학에서는 아르키메데스의 공리를 이용하거나 Exeter 교재에서는 기하학적 직관을 요합니다. 아르키메데스의 공리도 결국엔 기하학적 직관입니다. 따라서 저자는 교육과정이나 다른 교재나 각자의 장단점이 있고 공리에서 시작하는 것이 아닌 학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 생각하는 것에서 시작하는 국소적 조직화의 면에서 교육과정의 증명은 $\sin$과 $\cos$의 관계를 보여주는 등의 장점도 있기 때문에 나쁜 증명이라 볼 수 없다는 결론을 내렸습니다.
특히 Exeter 고등학교의 미적분학 교재에서는 $\sin x$의 도함수가 $\cos x$라는 것을 기하학적으로 증명하는데 이런 방식은 나중에 시간날 때 정리하여 링크 달겠습니다.
2. 우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대.극소를 설명하는 방식에 대한 비판적 논의
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[논문]우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대.극소를 설명하는 방식에 대한 비
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이를 참고하여 박수칠이란 사람이 쓴 칼럼도 있습니다.
[박수칠] 증가상태, 감소상태라는 개념은 이제 버리세요~ - 오르비
증가상태, 감소상태는 점에서 함수의 증가, 감소를 나타내는 개념이며, 대체로 다음과 같이 정의됩니다. 함수 f(x)와 충분히 작은 양수 h에 대하여 ① f(a-h) < f(a) < f(a+h)이면 함수 f(x)는 x = a
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개인적으로는 논문을 읽으시는 것을 추천드립니다. 워낙 저자가 논문을 잘 쓴 것도 있지만 개인적인 생각으로는 칼럼에서는 오해하기 쉬운 문장이 있는 것 같아서 입니다.
Exponential 17 최정원
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