오일러 공식

오일러 공식

오일러 공식이란 $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$을 말합니다. 이 식은 삼각함수와 지수함수의 정의역을 복소수까지 확장하거나 복소평면 등에 사용되는 중요한 공식입니다. 오일러 공식의 3가지 증명을 알아봅시다.

증명 1  미분방정식
$z=\cos\theta+i\sin\theta$라 하자. 이를 미분하면 $$\begin{eqnarray} \dfrac{dz}{d\theta} && =-\sin\theta+i\cos\theta \\ && =i(\cos\theta+i\sin\theta) \\ && =iz \end{eqnarray}$$ 이다. 따라서 $$\dfrac{1}{z}dz=id\theta$$을 얻는다. 이를 적분하면$$\ln|z|=i\theta+C$$이다. (단, $C$는 적분상수) 즉, $$z=e^{i\theta+C}$$이때 $\theta=0$을 대입하면$$z=e^{C}=1$$이므로 $C=0$이다. 따라서$$z=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$$이므로 증명이 끝났다. $\blacksquare$

증명 2  미적분
다음과 같은 함수를 정의하자. $$f(\theta)=e^{-i\theta}(\cos\theta+i\sin\theta)$$
이 함수를 미분하면
$$\begin{eqnarray} f'(\theta) && =-ie^{-i\theta}(\cos\theta+i\sin\theta) \\ && +e^{-i\theta}(-\sin\theta+i\cos\theta) \\ && =0 \end{eqnarray}$$ 
이다. 따라서 $f(\theta)$은 상수함수이므로 $f(\theta)=C$라 하자. 이때 $\theta=0$을 대입하면 $f(0)=1$이므로, $C=1$이다. 따라서 $$f(\theta)=e^{-i\theta}(\cos\theta+i\sin\theta)=1$$이므로,
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$이므로 증명이 끝났다. $\blacksquare$

증명 3 테일러 급수
다음과 같은 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$의 테일러 급수를 이용하면

$$\begin{eqnarray} e^{i\theta} && = 1+\dfrac{(i\theta)}{1!}+\dfrac{(i\theta)^2}{2!}+\dfrac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots \\ && = (1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots) \\ && +i(\theta-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots) \\ &&=\cos\theta+i\sin\theta \end{eqnarray}$$

이므로 증명이 끝났다. $\blacksquare$

cf 오일러 공식에서 $\theta=\pi$를 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.
$$e^{i\pi}+1=0$$

이 식은 자연로그의 밑 $e$, 허수 단위 $i$, 원주율 $\pi$, 덧셈의 항등원 $0$, 곱셈의 항등원 $1$이 모두 포함되어 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 불린다.

 

Exponential 17 김지하