이차함수의 넓이

이차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이 공식을 유도하자.

 

이차함수 $f(x)$에 대하여 $(\alpha, f(\alpha))$와 $(\beta, f(\beta))$를 지나는 직선의 방정식을 $g(x)$라 하자. 또한, 각 점에서 이차함수에 접하는 직선의 방정식을 각각 $l(x)$와 $k(x)$라 하자.

$f(x)$와 $g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S_1$, $f(x)$와 $l(x)$, $k(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S_2$라고 하자. 이제 이들의 식을 유도해보자.

 

Step 1.  두 접선의 교점의 $x$좌표 구하기

$k\left(x\right)$, $l\left(x\right)$의 교점과 $g\left(x\right)$와 기울기가 같은 직선이 함수 $f\left(x\right)$와 접하는 직선의 $x$좌표가 같음을 보이자.

$f\left(x\right)-g\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)$

$g\left(x\right)$와 기울기가 같은 접선과 $f\left(x\right)$가 만나는 점의 접선이 만나는 점을 찾기 위하여 미분하면

$f'\left(x\right)-g'\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)+a\left(x-\beta \right)=a\left(2x-\alpha -\beta \right)$

$\therefore x=\dfrac{\alpha +\beta }{2}$

또한 $x=\gamma$를 $y=k\left(x\right)$와 $y=l\left(x\right)$의 교점이라고 하자.

중근 $\alpha$를 가지므로 $f\left(x\right)-l\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^2$

중근 $\beta$를 가지므로 $f\left(x\right)-k\left(x\right)=a\left(x-\beta \right)^2$

두 식을 빼주면 $k\left(x\right)-l\left(x\right)=ax^2-2a\alpha x+a\alpha ^2-ax^2+2a\beta x-a\beta ^2=a\left\{\left(2\beta -2\alpha \right)x+\beta ^2-\alpha ^2\right\}$

$\alpha \ne \beta$이므로 $x=\dfrac{\alpha +\beta }{2}$

$\therefore g\left(x\right)$와 평행한 접선과 $f\left(x\right)$의 접점과 $k\left(x\right)$, $l\left(x\right)$의 교점의 $x$좌표가 $\dfrac{\alpha +\beta }{2}$로 일정함을 알 수 있다.

 

Step 2.  $S_1$ 구하기

위에서 $k\left(x\right)$와 $l\left(x\right)$의 교점의 $x$좌표가 $\dfrac{\alpha +\beta }{2}$인 것을 증명했으므로

$\gamma=\dfrac{\alpha +\beta }{2}$이다.

$\begin{eqnarray} S_1 &&=\int _{\alpha }^{\beta }g\left(x\right)-f\left(x\right) \ dx \\&&=\int _{\alpha }^{\beta }-a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\ dx \\&& =-a\int _{\alpha }^{\beta }x^2-\left(\alpha -\beta \right)x+\alpha \beta \ dx -a\left[ \dfrac{x^3}{3}-\frac{\alpha +\beta }{2}x^2+\alpha \beta x\right] _{\alpha }^{\beta } \\&& =-a\left\{\frac{\left(\beta ^3-\alpha ^3\right)}{3}-\frac{\left(\alpha +\beta \right)\left(\beta ^2-\alpha ^2\right)}{2}+\alpha \beta \left(\beta -\alpha \right)\right\}\\&& =-\dfrac{a\left(\beta -\alpha \right)}{6}\left\{2\beta ^2+2\alpha \beta +2\alpha ^2-3\alpha ^2-6\alpha \beta -3\beta ^2+6\alpha \beta \right\} \\&& =\dfrac{a\left(\beta -\alpha \right)}{6}\times \left(\beta -\alpha \right)^2 \end{eqnarray}$

a값의 부호를 판단하지 못하므로 절댓값을 붙어야 한다.

따라서 $S_1=\dfrac{\left|{a}\right|\left(\beta -\alpha \right)^3}{6}$

 

Step 3.  $S_2$ 구하기

$\begin{eqnarray} S_2 &&=\int _{\alpha }^{\frac{\alpha +\beta }{2}}a\left(x-\alpha \right)^2\ dx+\int _{\frac{\alpha +\beta }{2}}^{\beta }a\left(x-\beta \right)^2\ dx \\&& =a \left[ \frac{x^3}{3}-\alpha x^2+\alpha ^2x \right] _{\alpha }^{\frac{\alpha +\beta }{2}}+a \left[ \frac{x^3}{3}-\beta x^2+\alpha ^2x \right] _{\frac{\alpha +\beta }{2}}^{\beta } \\&& =a\left\{\frac{\left(\alpha +\beta \right)^3}{24}-\frac{\alpha \left(\alpha +\beta \right)^2}{4}+\alpha ^2\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)-\frac{\alpha ^3}{3}-\alpha ^3+\alpha ^3\right\} \\&& \quad\; + a\left\{\frac{\beta ^3}{3}-\beta ^3+\beta ^3-\frac{\left(\alpha +\beta \right)^3}{24}+\frac{\beta \left(\alpha +\beta \right)^2}{4}-\beta ^2\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\right\} \\&& =a\left\{\frac{\left(\alpha +\beta \right)^2\left(\beta -\alpha \right)}{4}-\frac{\left(\alpha +\beta \right)^2\left(\beta -\alpha \right)}{2}+\frac{\left(\beta -\alpha \right)\left(\beta ^2+\alpha \beta +\alpha ^2\right)}{3}\right\} \\&& =\frac{a\left(\beta -\alpha \right)}{12}\left\{3\alpha ^2+6\alpha \beta +3\beta ^2-6\alpha ^2-12\alpha \beta -6\beta ^2+4\beta ^2+4\alpha \beta +4\beta ^2\right\} \\&& =\frac{\left|{a}\right|}{12}\left(\beta -\alpha \right)^3 \end{eqnarray}$

 

Step 4. 

$\begin{eqnarray}S_1+S_2 &&=\dfrac{\left|{a}\right|}{12}\left(\beta -\alpha \right)^3+\dfrac{2\left|{a}\right|}{12}\left(\beta -\alpha \right)^3 \\&& =\frac{\left|{a}\right|}{4}\left(\beta -\alpha \right)^3\end{eqnarray}$

 

Exponential 17 노강민