베지어 곡선

베지어 곡선이란 직선 위 일정한 속도로 움직일때 생기는 자취이다. 

1차, 2차, 3차, ...로 점의 개수를 늘렸을 때 즉 베지어 곡선이 점 $n+1$개로 정의 될때 $n$차 베지어 곡선으로 정의 된다.

1) 1차 베지어 곡선

$0<t<1$일 때 $X$의 자취를 구해야 하고 $X$의 자취는 직선이라는 것을 알 수 있다.

$P_0(x_0, y_0), P_1(x_1, y_1)$라 하자.

$X$의 자취는 $P$와 $Q$를 내분한 점이므로 $X$의 $x$좌표와 $y$좌표를 $t$에 대한 방정식으로 나타낼 수 있다.

$X$의 $x$좌표 : $(1-t)x_0+tx_1$

$X$의 $y$좌표 : $(1-t)y_0+ty_1$

2) 2차 베지어 곡선

마찬가지로 $P_0(x_0, y_0), P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$라 하자.

1차 베지어 곡선 에서 관찰하였듯이 $x$좌표와 $y$좌표의 꼴이 유사하므로 $x$좌표에서만 확인하겠다.

$P$의 $x$좌표 : $(1-t)x_0+tx_1$

$Q$의 $y$좌표 : $(1-t)x_1+tx_2$

$X$의 $x$좌표 :  $(1-t)^2x_0+t(1-t)x_1+t(1-t)x_1+t^2x_2=(1-t)^2x_0+2t(1-t)x_1+t^2x_2$

$X$의 $y$좌표 :  $(1-t)^2y_0+t(1-t)y_1+t(1-t)y_1+t^2y_2=(1-t)^2y_0+2t(1-t)y_1+t^2y_2$

이때 각각의 좌표들을 원점을 시작점으로 하는 위치벡터로 나타내면 2차 베지어 곡선은 다음과 같이 나타낸다.

$B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2(0<t<1)$($P_0, P_1, P_2$은 각각의 점에 대한 위치 벡터이다.)

3)3차 베지어 곡선

$X$의 자취가 3차 베지어 곡선이다.

또한 $P$의 자취는 $P_0, P_1, P_2$의 3차 베지어 곡선이고, $Q$의 자취는 $P_1, P_2, P_3$의 3차 베지어 곡선이다.

$P$ : $(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2$

$Q$ : $(1-t)^2P_1+2t(1-t)P_2+t^2P_3$

$X$의 자취는 $P$와 $Q$의 내분점이다.  

따라서 자취는 $(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3(1-t)t^2P_2+t^3P_3$이다.

4)$n$차 베지어 곡선

$P_{0123...n}$을 $P_0, P_1, P_2, ... P_n$으로 이루어진 $n$차 베지어 곡선을 만드는 자취로 정의하겠다.

3차 베지어 곡선에서도 확인할 수 있듯이 3차 베지어 곡선은 2차 베지어 곡선 2개의 1차 베지어 곡선이므로 다음과 같이 점화식으로 나타낼 수 있다.

$P_{0123...n}=tP_{0123...n-1}+(1-t)P_{123...n}$

이후 점화식을 일반화 시키면

$P_{0123...n}=\sum_{i=1}^n{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^iP_i$

 

 

 

EXPONENTIAL 18TH 김은서 이주호