선형대수학의 기본적 개념 2

벡터(vector): 벡터 공간의 원소
벡터 공간: 집합 V에 대하여 덧셈과 스칼라 곱이 정의되는 것
 
1. 덧셈
교환, 결합, 항등원, 역원이 정의된다.
 
2. 스칼라 곱
분배, 결합, 역원이 정의 된다.
 
<참고>

• 선형 대수학: 열벡터 사용

해석학, 미적분학: 행벡터 사용

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벡터의 내적
$A=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\a_n \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n \end{pmatrix}$ 이라 하자
$AㆍB = a_1b_1+ a_2b_2 +\cdots +  a_nb_n = A^TB = B^TA $
$A^T=(a_1 \ a_2 \cdots a_n), B^T=(b_1 \  b_2 \cdots b_n)$

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일차 결합
$v_1, v_2, \cdots, v_n∈ V   (V: $ 벡터공간, $c_1, c_2, \cdots, c_n: $ 스칼라)
일차결합: $\sum^n_{k=1}c_kv_k=c_1v_1+c_2v_2+ \cdots + c_nv_n$
 
일차 독립
$c_1v_1+c_2v_2+ \cdots + c_nv_n=0$인 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$이 유일한 해일때 일차 독립이라 한다
 
일차 종속
일차 독립이 아닌 경우를 일차 종속이라 한다.
 
기저
일차 독립 벡터의 집합이 일차 결합을 통해 벡터 공간을 형성하면 일차 독립인 벡터의 집합을 기저라 한다.

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행렬의 고유값 문제
$AX=λX(A:$ 정사각형 행렬, $X$: 영벡터가 아닌 고유벡터 )일 때 λ를 고유값이라 한다.
$AX = λIX, (A- λ I)X=0$
이때 $det(A- λ I)=0$
pf)  귀류법
$det(A- λ I)≠0$이면 $(A- λ I)^{-1}$이 존재하여야 한다.
$(A- λ I)^{-1} (A- λ I)X=0, X=0$이니 $X$는 영벡터가 아니라는 것에 모순이다
∴ $det(A- λ I)=0$
 
고유 기저: $A$의 고유벡터가 $R^n$의 기저를 형성할 때 $A$의 고유벡터
 
 
정리)
$n×n$ 행렬 $A$가 서로 다른 고유값을 가지면 $A$의 고유벡터 $x_1, x_2, \cdots, x_n$까지는 $R^n$의 기저를 형성한다.
pf) 귀류법
$x_1, x_2, \cdots, x_n$이 일차독립이 아니라 하자.
이때 $x_1, x_2, \cdots, x_r(r<n)$이 일차독립을 형성한다고 할때 $x_1, x_2, \cdots, x_{r+1}$은 일차종속이 된다.
$A(c_1x_1+c_2x_2+ \cdots + c_{r+1}x_{r+1})=0$
$c_1λ_1x_1+c_2 λ_2x_2+ \cdots + c_{r+1} λ_{r+1}x_{r+1}=0   \cdots$ ①
$c_1 λ_{r+1}x_1+c_2  λ_{r+1}x_2 +\cdots+ c_{r+1} λ_{r+1}x_{r+1}=0 \cdots $ ②
① - ②
$c_1(λ _1 - λ_{r+1})x_1+c_2  (λ _2 - λ_{r+1})x_2 +\cdots+ c_{r+1} (λ _r - λ_{r+1})x_r=0 \cdots$③
③은 일차독립이므로 $c_1=c_2=\cdots=c_r=0$
이에 따라 $c_{r+1}x_{r+1}=0$이니 $c_{r+1}=0$
∴ $r+1$은 일차 독립이다
 
수학적 귀납법에 따라 $x_1, x_2, \cdots, x_n$까지 모두 일차독립이 된다.

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대각화
$ n×n $행렬이 고유기저를 가지면
대각 행렬 $D=X^{-1}AX$
$X=(x_1 x_2 \cdots x_n)$
$x_1=\begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{12} \\ \vdots \\x_{1n} \end{pmatrix}, x_2=\begin{pmatrix} x_{21} \\ x_{22} \\ \vdots \\x_{2n} \end{pmatrix} \cdots x_n=\begin{pmatrix} x_{n1} \\ x_{n2} \\ \vdots \\x_{nn} \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{21} \\ x_{12} & x_{22} \\ \vdots & \vdots & \cdots \\ x_{1n} & x_{2n}\end{pmatrix}$
$AX=(Ax_1 \ Ax_2 \cdots \ Ax_n) = (λ_1x_1 \  λ_2x_2 \cdots λ_nx_n)=XD$
$D=\begin{pmatrix}λ _1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & λ _2 & \cdots &0\\  \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\0 & 0&\cdots & λ _n\end{pmatrix}$
$AX=XD$
$X^{-1}AX=X^{-1}XD$
$X^{-1}AX=D$
$A=XDX^{-1}$
이때 $A^n=XDX^{-1}XDX^{-1} \cdots XDX^{-1}=XD^nX^{-1}$