스토크스 정리는 발산 정리와 함께 물리학에서 굉장히 자주 쓰이는 정리 중 하나입니다. 이번 글에서는 Curl이 왜 회전을 의미하는지, 또 이를 이용해서 스토크스 정리를 증명해보고자 합니다.
2차원에서 회전비율을 어떤 식으로 나타낼 수 있을까요? Curl의 정의를 알아보기 위한 기본 아이디어는 다음과 같습니다.
경계 주변에서 함수 F의 회전 비율은 각 속도의 접선 방향의 흐름과 변 길이의 곱의 합이다.
이를 다음과 같은 상황에 적용 시킵니다.
다음과 같이 벡터함수 (F=M(x,y))(\textbf{i}+N(x,y))(\textbf{j}) 가 주어졌을때 각 변에서 접선 방향의 흐름과 변 길이의 곱을 구해보면 다음과 같습니다.
Top : $F(x,y+\Delta y)\cdot (-\textbf{i})\Delta x=-M(x,y+\Delta y)\Delta x$
bottom : $F(x,y)\cdot \textbf{i}\Delta x=M(x,y)\Delta x$
Right : $F(x+\Delta x,y)\cdot \textbf{j}\Delta y=N(x+\Delta x,y)\Delta y$
Left : $F(x,y)\cdot (-\textbf{j})\Delta y=-N(x,y)\Delta y$
이를 토대로 top과 bottom, right 과 left 를 각각 계산합니다.
Top and bottom : $-(M(x,y+\Delta y)-M(x,y))\Delta x\approx -(\frac{\partial M}{\partial y})\Delta x$
Right and left : $(N(x+\Delta x,y)-N(x,y))\Delta y\approx \frac{\partial N}{\partial x}\Delta y$
두 식을 이용해서 계산한 직사각형 둘레의 회전 비율은 다음과 같습니다.
Circulation rate around rectangle $\approx (\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})\Delta x\Delta y$
따라서 직사각형 둘레의 회전율을 면적으로 나누면
$\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}$
로 최종식을 얻을 수 있습니다.
따라서 위와 같은 표현은 벡터장의 회전 밀도(circuclation density)를 스칼라 형태로 나타낸 것입니다. 그리고 우리는 이를 $curl F% $혹은 $(\triangledown \times \textbf{F})\cdot \textbf{k}$로 표현합니다.
curl은 $F=M\textbf{i}+N\textbf{j}+P\textbf{k}$일 때 3차원에서 다음과 같이 나타납니다.
$curl F=(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial z})\textbf{i}+(\frac{\partial M}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial x})\textbf{j}+(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})\textbf{k}$
이것은 $\triangledown $와 $\textbf{F}$의 외적과 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$\triangledown =\textbf{i}\frac{\partial }{\partial x}+\textbf{j}\frac{\partial }{\partial y}+\textbf{k}\frac{\partial }{\partial x}$
$\triangledown \times \textbf{F}=\begin{vmatrix}
\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\
\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\
\textbf{M} & \textbf{N} & \textbf{P} \\
\end{vmatrix}$
$=(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial z})\textbf{i}+(\frac{\partial M}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial x})\textbf{j}+(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})\textbf{k}$
이를 통해서 curl이 회전 밀도를 나타낸다는 것을 알게되었습니다.
이제 curl의 의미를 통해 스토크스 정리를 증명해보겠습니다. 스토크스 정리는 다음과 같이 주어집니다.
$\displaystyle \oint_{C}^{}\textbf{F}\cdot dr=\iint_{S}^{}(\triangledown \times \textbf{F})\cdot \widehat{n}d\sigma $
이는 curl의 정의로부터 유도해낼 수 있는데 curl의 정의는 다음과 같이 변형하여 쓸 수 있습니다.
$ \displaystyle (\triangledown\times \textbf{F})\cdot \widehat{n}\approx \frac{1}{\delta \sigma _{i}}\oint_{\delta C_{i}}^{}\textbf{F}\cdot dr$
이를 변형하여 전개하면 다음과 같은 과정을 거치게 됩니다.
$ \displaystyle (\triangledown\times \textbf{F})\cdot \widehat{n} \delta \sigma _{i}\approx \oint_{\delta C_{i}}^{}\textbf{F}\cdot dr
$
$\displaystyle \sum_{i}^{}(\triangledown\times \textbf{F})\cdot \widehat{n} \delta \sigma _{i}\approx \sum_{i}^{} \oint_{\delta C_{i}}^{}\textbf{F}\cdot dr$
(좌변)=$\displaystyle \lim_{\delta \sigma _{i} \to 0}\sum_{i}^{}(\triangledown \times \textbf{F})\cdot \widehat{n}=\iint_{S}^{}
(\triangledown \times \textbf{F}) \cdot \widehat{n}d\sigma $
(우변)=$\displaystyle \lim_{\delta \sigma _{i} \to 0}\sum_{i}^{}\oint_{\delta C_{i}}^{}\textbf{F}\cdot dr=\oint_{C}^{}\textbf{F}\cdot dr$
이를 조합하면
$\displaystyle \oint_{C}^{}\textbf{F}\cdot dr=\iint_{S}^{}(\triangledown \times \textbf{F})\cdot \widehat{n}d\sigma $
이를 통해 스토크스 정리를 증명하였습니다.
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