1959 IMO

이번 글에서는 1959년에 치루어진 첫 번째 IMO에서 출제된 6문제를 모두 살펴봅시다. 첫 번째 시험인 만큼 2022년 기준 난이도는 지나치게 쉽습니다. 필자 또한 30분도 안 걸려서 (6번을 제외한) 모든 문제들을 다 해결할 수 있었을 정도이므로, 풀이를 보기 전에 한번 도전해봅시다.

 

1959 IMO 1. 

모든 자연수 $n$에 대하여 $$\dfrac{21n+4}{14n+3}$$이 기약분수임을 보여라.

sol) 유클리드 호제법을 이용하여 분자와 분모의 최대공약수를 살펴보면,

$$\begin{eqnarray} (21n+4,14n+3)&&=(7n+1,14n+3)\\&&=(7n+1,1)\\&&=1\end{eqnarray}$$

따라서 분자와 분모는 서로소이기 때문에 주어진 수는 항상 기약분수이다.

 

1959 IMO 2.

근호 안에는 음이 아닌 실수만이 들어갈 수 있을 때, 다음 식을 만족하는 실수 $x$를 $A = \sqrt{2}$, $1$, $2$인 경우에 각각 찾아라.

$$\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A$$

sol) 주어진 식에서 양변을 제곱하면

$$x+\sqrt{2x-1}+2\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})(x-\sqrt{2x-1})}+x-\sqrt{2x-1}=A^2$$

정리하면 $2x+2 \left\vert x-1 \right\vert =A^2$

이때 $\left\vert x-1 \right\vert = 1-x$이면 $A^2=2$이므로 이 경우는 고려하지 말자.

따라서 $4x-2=A^2$

$A=\sqrt2,\,1,\,2$인 경우에 대하여 $x$를 구하면 $x$는 각각 $1,\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{3}{2}$

 

1959 IMO 3. 

실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 다음과 같은 $\cos x$에 대한 이차 방정식을 생각하자. $$a\cos^2x + b\cos x + c = 0$$

$a$, $b$, $c$를 사용하여 위 방정식과 같은 해($x$)를 가지는 $\cos 2x$에 대한 이차 방정식을 만들어 보아라.

$a = 4$, $b = 2$, $c = −1$일 경우 이 두 방정식을 비교해 보아라.

sol) $\cos 2x=2\cos^2x-1$임을 기억하자.

$a\cos^2x + b\cos x + c = 0$에서 $a\cos^2x  + c = -b\cos x$

양변을 제곱하고 정리하면 $a^2\cos^4x+(2ac-b^2)\cos^2x+c^2=0$

위의 식을 조작하여 $2\cos^2x-1$에 대한 이차방정식으로 만들어 준다.

$$a^2(\cos^4x-\cos^2x+\dfrac{1}{4})+(a^2-b^2+2ac)(\cos^2x-\dfrac{1}{2})-\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b^2+ac+c^2=0$$

$$a^2(\dfrac{\cos 2x}{2})^2+(a^2-b^2+2ac)(\dfrac{\cos 2x}{2})-\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b^2+ac+c^2=0$$

따라서 $$a^2\cos^22x+(2a^2-2b^2+4ac)\cos 2x+(a^2-2b^2+4c^2+4ac)=0$$

$a = 4$, $b = 2$, $c = −1$일 때, 두 방정식은 $4X^2+2X-1=0$로 같고, 근은 $\cos \dfrac{2\pi}{5}$, $\cos \dfrac{4\pi}{5}$이다.

 

1959 IMO 4. 

주어진 상수 $c$에 대하여 빗변의 길이가 $c$가 되면서 빗변에 그은 중선의 길이가 삼각형의 나머지 두 변의 길이의 기하평균이 되는 직각삼각형을 작도하여라.

sol) 문제 상황은 다음과 같다.

$c=2\sqrt{ab}$ 이므로 $c^2=4ab$

이때 $\cos \mathrm{A}=\dfrac{b}{c}$, $\sin \mathrm{A}=\dfrac{a}{c}$이므로 $$c=\dfrac{b}{\cos \mathrm{A}}=\dfrac{a}{\sin \mathrm{A}}$$

즉, $$c^2=\dfrac{ab}{\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}}=4ab$$이므로 $$2\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\sin 2\mathrm{A}=\dfrac{1}{2}$$이다. 따라서 $\mathrm{A}=15^\circ$, $75^\circ$이다. 즉, 빗변의 길이가 $c$이고 내각의 크기가 $15^\circ$, $75^\circ$, $90^\circ$인 삼각형을 작도하면 된다. 작도 방법은 매우 쉬우므로 생략.

 

1959 IMO 5. 

선분 $\mathrm{AB}$의 내부에 임의의 점 $\mathrm{M}$을 잡자. 그리고 $\mathrm{AM}$, $\mathrm{MB}$을 각각 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{AMCD}$, $\mathrm{MBEF}$을 선분 $\mathrm{AB}$에 대해 같은 쪽에 그리자. 이제 이 두 정사각형의 외접원은 $\mathrm{M}$과 $\mathrm{N}$에서 서로 만나며, 각각의 외접원의 중심을 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라고 하자. 그리고 두 직선 $\mathrm{AF}$와 $\mathrm{BC}$의 교점을 $\mathrm{N'}$이라 하자.
$(a)$ 점 $\mathrm{N}$과 $\mathrm{N'}$이 일치함을 보여라.
$(b)$ 처음에 $\mathrm{N}$을 어떻게 고르는지와 상관없이 직선 $\mathrm{MN}$이 고정된 한 점 $\mathrm{S}$을 지남을 보여라.
$(c)$ $\mathrm{M}$이 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$ 사이를 움직일 때 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점의 자취를 구하여라.

sol) 상황을 그림으로 그리면 다음과 같다.

$(a)$ 먼저, $\mathrm{N}$을 살펴보자. 선분 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BF}$는 지름이므로 $\angle \mathrm{ANC}=\angle \mathrm{BNF}=90^\circ$.

또한 $\angle \mathrm{ANC}+\angle \mathrm{BNF}=180^\circ$이므로 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{N}$, $\mathrm{F}$는 일직선이다. 따라서 점 $\mathrm{N}$은 점 $\mathrm{B}$가 선분 $\mathrm{AF}$에 내린 수선의 발이다.

다음으로, $\mathrm{N'}$를 살펴보자. $\triangle\mathrm{AMF} \equiv \triangle\mathrm{CMB}$ ($SSS$ 합동)이므로, $\angle\mathrm{AFM}=\angle\mathrm{CBM}$.

그러면 $\triangle\mathrm{CN'F} \sim \triangle\mathrm{CMB}$ ($AA$ 닮음)이므로 $\angle\mathrm{FN'C}=\angle\mathrm{BMC}=90^\circ$ 따라서 점 $\mathrm{N'}$은 점 $\mathrm{B}$가 선분 $\mathrm{AF}$에 내린 수선의 발이다.

따라서 $\mathrm{N=N'}$이다.

$(b)$ $\triangle\mathrm{ABN} \sim \triangle \mathrm{BCM}$이므로 $\mathrm{AN:BN=CM:BM}$이다. 이때 $\mathrm{AM=CM}$이므로, $\mathrm{AN:BN=AM=BM}$

따라서 $\mathrm{\overline{NM}}$은 $\angle\mathrm{ANB}$의 이등분선이다. 즉, $\angle\mathrm{ANM}$은 $45^\circ$로 일정하다.

$45^\circ$는 $4$분원의 원주각이므로, $\overline{\mathrm{AB}}$을 지름으로 하는 원을 그렸을 때 직선 $\mathrm{NM}$은 호 $\mathrm{AB}$의 중점을 항상 지난다.

$(c)$ $\overline{\mathrm{PQ}}$의 중점을 $\mathrm{R}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$에서 $\overline{\mathrm{AB}}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P_H}$, $\mathrm{Q_H}$, $\mathrm{R_H}$라고 하면, $$\mathrm{PP_H+QQ_H=\dfrac{1}{2}(AM+BM)=\dfrac{1}{2}AB}$$이므로 $$\mathrm{RR_H=\dfrac{1}{4}AB}$$이다. 따라서 $R$의 자취는 $\overline {\mathrm{AB}}$에서 $\frac{1}{4}\mathrm{AB}$만큼 떨어지며 평행한 선분이다. (선분의 시작점과 끝점은 $\mathrm{M}$이 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$일 때 $\mathrm{R}$의 위치)

 

1959 IMO 6. 

두 평면 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$가 직선 $p$에서 만난다고 하자. 주어진 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$는 각각 평면 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$위의 점이며 둘 중 어느 것도 직선 $p$ 위에 있지 않다. 이 때, 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 $\mathrm{AB \parallel CD}$인 등변사다리꼴이 되며 내접원을 가지도록 평면 $P$위의 점 $\mathrm{B}$와 평면 $\mathrm{Q}$ 위의 점 $\mathrm{D}$를 작도하여라.

sol)

 

Exponential 17 김지하