작도 가능한 수

작도 가능한 수 

눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한번 사용하여 나타낼 수 있는 수를 말한다.

 

형태 

눈금 없는 자로는 일차식 $ax+by+c=0$을 나타낼 수 있고, 컴퍼스로는 이차식 $x^2+y^2+ax+by+c=0$을 나타낼 수 있다. 따라서, 작도 가능한 수는 위의 두 가지 식 유형을 연립하여 얻을 수 있는 값들이고, 이는 유리수의 제곱근이나 사칙연산을 유한번 적용하여 얻을 수 있는 수이다.

 

작도 불가능한 수 

어떤 수가 정수 계수 다항방정식의 근이 될 수 없는 수인 초월수이거나, 어떤 수를 근으로 가지는 정수 계수 다항방정식의 최소 차수가 $2^n$ (단, $n$은 자연수)이 아니라면 그 수는 작도 불가능하다.

이를 토대로 3대 작도 불능 문제를 설명해보자. 3대 작도 불능 문제란 다음 세 작도 문제이다.

작도를 유한번 하여 1. 주어진 임의의 각을 $3$등분하는 각을 작도하시오. 2. 주어진 임의의 정육면체의 두 배 부피를 가지는 정육면체를 작도하시오. 3. 주어진 임의의 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하시오.

1번은 삼각함수의 3배각 공식을 생각하면 임의의 실수 $a$에 대하여 $4x^3-3x=a$의 근을 작도하는 것과 같다. 그러나 이 방정식의 차수는 3이므로, 근은 작도 불가능하다.

2번은 $\sqrt[3]{2}$, 즉 $x^3=2$의 근을 작도하는 것과 같다. 이도 마찬가지로 불가능하다.

3번은 $\pi$를 작도하는 것과 같다. $\pi$는 초월수이기 때문에 불가능하다.

 

작도법 

위에서 유리수의 사칙연산과 제곱근의 연산은 모두 작도 가능함을 알아보았습니다. 이제 그 작도법을 알아봅시다.

1. 덧셈, 뺄셈

길이가 $a$인 선분 $\mathrm{AB}$을 잡고 점 $\mathrm{B}$을 중심으로 반지름의 길이가 $b$인 원을 그리자. 원과 직선 $\mathrm{AB}$의 교점을 $\mathrm{A}$와 가까운 순서대로 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 하면, 선분 $\mathrm{AD}$의 길이는 $a+b$, 선분 $\mathrm{AC}$의 길이는 $a-b$이다.

2. 곱셈, 나눗셈

길이가 $1$인 선분 $\mathrm{AB}$와 $a$인 선분 $\mathrm{BC}$을 일직선이 아니도록 잡자. 반직선 $\mathrm{AB}$ 위에 $\mathrm{AD}=b$이도록 점 $\mathrm{D}$을 잡자. 점 $\mathrm{D}$을 지나면서 선분 $\mathrm{BC}$와 평행한 직선과 직선 $\mathrm{AC}$의 교점을 $\mathrm{E}$라고 하면, $\triangle\mathrm{ABC} \backsim \triangle\mathrm{ADE}$ 이다. ($AA$ 닮음) 따라서 $1:a=b:\mathrm{DE}$ 이므로, 선분 $\mathrm{DE}$의 길이는 $ab$이다. 나눗셈도 비슷하게 할 수 있다.

3. 제곱근

직선 위에 $\mathrm{AC}=a$, $\mathrm{BC}=b$ 이도록 순서대로 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$ ,$\mathrm{B}$을 잡고, 선분 $\mathrm{AB}$을 지름으로 하는 원 $\mathrm{O}$을 그리자. 점 $\mathrm{C}$를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$와 수직인 직선과 원 $\mathrm{O}$의 교점 하나를 $\mathrm{D}$라 하자. 이때 $\triangle \mathrm{ACD} \backsim \triangle \mathrm{DCB}$ 이다. ($AA$ 닮음) 따라서 $a:\mathrm{CD}=\mathrm{CD}:b$ 이므로, $\mathrm{CD}=\sqrt{ab}$이다.

 

Exponential 17 김지하