2023. 03. 23.

1. 주어진 집합 $A$와 $B$에 대하여, $A+B=\{a+b\mid a\in A$이고 $b\in B \}$라 정의하자. 다음 단계에 따라 $A$와 $B$가 공집합이 아닌 위로 유계인 집합일 때, $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$임을 증명하라.

(a) $s=\sup A$이고 $t=\sup B$라고 하자. $s+t$가 $A+B$에 대한 상계임을 보여라.

(b) 이번에는 $a\in A$를 고정하고, $u$가 $A+B$의 임의의 상계라고 하자. $t\le u-a$임을 보여라.

(c) 마지막으로 $\sup(A+B)=s+t$임을 보여라.

(d) 방금 얻은 결과를 보조정리를 이용하여 증명하여라.

보조정리 $s\in\mathbb{R}$가 집합 $A\subset\mathbb{R}$의 상계라고 하자. $s=\sup A$일 필요충분조건은 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $s-\epsilon<a$를 만족하는 원소 $a\in A$가 존재하는 것이다.

 

2. $x^2=2$인 실수 $x\in\mathbb{R}$가 존재함을 보여라.

$\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^2<2\right\}$의 상한이 $\sqrt2$이므로 존재한다고 주장하는 것은 이미 $\sqrt2$의 존재성을 가정한 것이므로 오류이다. 이제 이 실수 $x$가 유리수가 아님을 증명함으로써 무리수임을 증명할 수 있다.

 

3. 아르키메데스 성질(Archimedean Property)을 증명하라. 다음 명제 모두를 아르키메데스 성질이라고 부를 수 있지만 통상적으로는 (a)를 지칭한다.

(a) $x\in\mathbb{R}$이면, $x<n_x$가 되는 $n_x\in\mathbb{N}$가 존재한다.

(b) $S=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$이면 $\inf S=0$이다.

(c) $t>0$이면, $0<\frac{1}{n_t}<t$가 되는 $n_t\in\mathbb{N}$가 존재한다.

(d) $y>0$이면, $n_y-1\le y<n_y$가 되는 $n_y\in\mathbb{N}$가 존재한다.

 

4. 3을 이용하여 유리수와 무리수의 조밀성을 증명하여라.

(a) $x$와 $y$가 $x<y$인 임의의 실수이면, $x<r<y$인 유리수 $r$이 존재함을 보여라. 힌트 : $\frac{1}{n}<b-a$를 잡아라.

(b) $x$와 $y$가 $x<y$인 임의의 실수이면, $x<z<y$인 무리수 $z$가 존재함을 보여라.

 

5. 축소구간정리(Nested Interval Theorem)를 증명하여라. 축소구간정리는 실수가 수직선을 빈틈없이 채우는 모습을 표현한 것이다.

(a) $I_n=\left[a_n,\ b_n\right],\ n\in\mathbb{N}$이 유계인 축소폐구간열이면, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\xi\in I_n$인 수 $\xi\in\mathbb{R}$가 존재한다.

(b) $I_n=\left[a_n,\ b_n\right],\ n\in\mathbb{N}$이 유계인 축소폐구간열이고 $I_n$의 길이 $b_n-a_n$이 $\inf\left\{b_n-a_n\mid n\in\mathbb{N}\right\}=0$을 만족하면, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $I_n$에 포함되는 수 $\xi$는 유일하다.

 

이 축소구간정리는 거리공간 $X$에 대해 다음과 같이 일반화될 수 있다.

$K_n$이 $K_n\supset K_{n+1}$을 만족하는 $X$에서의 컴팩트 집합열이고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}diam\ K_n=0$이면 $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcap}}K_n$은 한원소 집합이다.

 

6.

(a) 5를 이용하여 $\left\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\right\}=\mathbb{R}$가 되도록 어떤 수열 $\left(x_n\right)$을 잡을 수 없음을 보여라. 이는 실수 집합 $\mathbb{R}$이 비가산 집합임을 의미한다.

(b) $\left\{y_n\mid n\in\mathbb{N}\right\}=\mathbb{Q}$가 되도록 어떤 수열 $\left(y_n\right)$을 잡을 수 있음을 보이고 이를 이용하여 $\left\{z_n\mid n\in\mathbb{N}\right\}=\mathbb{Q^c}$가 되도록 어떤 수열 $\left(z_n\right)$을 잡을 수 없음을 보여라. 이는 유리수 집합 $\mathbb{Q}$가 가산 집합이고 무리수 집합 $\mathbb{Q^c}$가 비가산 집합임을 의미한다.

 

7. $X$와 $Y$를 공집합이 아닌 집합이라 하고 $h:X\times Y\to\mathbb{R}$가 $\mathbb{R}$에서 유계인 치역을 갖는다고 하자. $F:X\to\mathbb{R}$와 $G:Y\to\mathbb{R}$가 다음과 같이 정의된다고 하자.

$$F(x)=\sup\left\{h(x,\ y)\mid y\in Y\right\},\ G(y)=\sup\left\{h(x,\ y)\mid x\in X\right\}.$$

반복상한의 원리(Principle of the Iterated Suprema)

$$\sup\left\{h(x,\ y)\mid x\in X,\ y\in Y\right\}=\sup\left\{F(x)\mid x\in X\right\}=\sup\left\{G(y)\mid y\in Y\right\}$$

를 수립하여라. 이를 때때로 다음과 같은 기호로 표기한다.

$$\underset{x,\ y}{\sup}h(x,\ y)=\underset{x}{\sup}\underset{y}{\sup}h(x,\ y)=\underset{y}{\sup}\underset{x}{\sup}h(x,\ y)$$

 

8. $b>1$로 고정하자.

(a) $m,\ n,\ p,\ q$는 정수이고 $n>0,\ q>0$, $r=\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$라고 하자. 다음을 증명하라.$$(b^m)^{\frac{1}{n}}=(b^p)^{\frac{1}{q}}.$$따라서 $b^r=(b^m)^{\frac{1}{n}}$으로 정의하는 것은 그럴듯하다.

(b) $r$과 $s$가 유리수일때 $b^{r+s}=b^r b^s$임을 증명하라.

(c) $x$가 실수일때, $t\in\mathbb{Q}$이고 $t\le x$인 모든 $b^t$의 집합을 $B(x)$로 정의하자. $r$이 유리수일때 다음을 증명하여라.

$$b^r=\sup B(r)$$

따라서 모든 실수 $x$에 대하여 $b^x=\sup B(x)$로 정의하는 것은 그럴듯하다.

(d) 모든 실수 $x$와 $y$에 대하여 $b^{x+y}=b^x b^y$를 증명하여라.

 

문제 출처

Introduction to Real Analysis(Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert)

Understanding Analysis(Steven Abbott)

Principles of Mathematical Analysis(Walter Rudin)

 

Exponential 17 최정원