1. 미분의 정의
미분계수 = 평균 변화율의 극한 = 접선의 기울기
미분계수 = $\lim\limits_{h \to 0}\frac{f\left(a+h\right) - f\left(a\right)}{h} = \lim\limits_{x \to a}\frac{f\left(x\right) - f\left(a\right)}{x-a} = f'(a)$
2. 미분 가능성
미분계수 = $\lim\limits_{h \to 0}\frac{f\left(a+h\right) - f\left(a\right)}{h} = \lim\limits_{x \to a}\frac{f\left(x\right) - f\left(a\right)}{x-a} = f'(a)$
미분계수의 정의 = 극한의 형태
$\rightarrow$ 극한의 정의로 미분 가능성을 파악
3. 미분 가능하면 연속인가?
pf) $\lim\limits_{x \to a}{\left\{f\left(x\right) - f\left(a\right)\right\}} = \lim\limits_{x \to a}{\left\{\frac{f\left(x\right) - f\left(a\right)}{x-a}\left(x-a\right)\right\}} = f'(a)\times0 = 0$
$\therefore \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)$
역의 반례) $y = \left| x \right|$
4. 도함수
미분 가능한 함수 $f(x)$에 대해
$f'(x) = y' = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = {dy \over dx} = \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx}f(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
이계도함수
$y'' , f''(x) , \frac{d^2 y}{d x^2} , \frac{d^2}{d x^2}f(x)$
이와 같은 방식으로 n계도함수도 표현가능하다.
5. 롤의 정리
$[a,b]$에서 연속, $(a,b)$에서 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대해 $f(a) = f(b)$이면 $f'(c) = 0(a<c<b)$인 $c$가 존재한다.
pf)
$i)$ $f(x)$가 상수함수일 때,
$f'(c) = 0$
$ii)$ $f(x)$가 상수함수가 아닐 때,
1)$f(c)$가 최대일 때,
$f(c)>f(c+h)$ 이고 $f(c)>f(c+h) (h>0)$
$\therefore \frac{f(c+h)-f(c)}{h}<0 \lim\limits_{h \to 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} = f'(c) \le 0$
$\frac{f(c-h)-f(c)}{-h}>0 \lim\limits_{-h \to 0-}\frac{f(c-h)-f(c)}{-h} = f'(c) \leq 0$
$\therefore f'(c) = 0$
2)$f(a) = f(b)$가 최대일 때,
$f(c)$가 최소이면 $f(c)<f(c+h), f(c)<f(c-h) (h>0)$
같은 방법으로 $f'(c) = 0$
6. 평균값 정리
$[a,b]$에서 연속, $(a,b)$에서 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대해 $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(a<c<b)$인 $c$가 존재한다.
pf) $h(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) + f(a) - f(x)$ 라 하면
$h(a) = 0, h(b) = 0$
따라서 롤의 정리에 의해
$\therefore h'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} - f'(c) = 0 (a<c<b)$ 인 $c$가 존재한다.
7. 도함수를 구하는 방법
1) 미분계수의 정의를 이용한다.
$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
예) $y=sinx \rightarrow y'=cosx$
pf) $\lim\limits_{h \to 0}\frac{sin(x+h) - sinx}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{sinx\left(cosh-1\right) + cosxsinh}{h} = cosx$
2) 공식을 이용한다.
$y=f(x) \pm g(x) \rightarrow y'=f'(x) \pm g'(x)$
$y=f(x)g(x) \rightarrow y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$y=\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
$y=f(g(x)) \rightarrow y'=g'(x)f'(g(x))$
$y=f^{-1}(x) \rightarrow y'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
$y=x^n \rightarrow y'=nx^{n-1}$
$y=sinx \rightarrow y'=cosx$
$y=cosx \rightarrow y'=-sinx$
$y=tanx \rightarrow y'=sec^2x$
$y=secx \rightarrow y'=secxtanx$
$y=cscx \rightarrow y'=-cscxcotx$
$y=cotx \rightarrow y'=-csc^2x$
$y=e^x \rightarrow y'=e^x$
$y=a^x \rightarrow y'=a^xlna$
$y=lnx \rightarrow y'=\frac{1}{x}$
$y=log_{a}x \rightarrow y'=\frac{1}{xlna}$
3)특이한 함수 형태 - 매개변수
$x=g(t), y=f(t)$가 미분가능하다면 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{f'(t)}{g'(t)}$
4)특이한 함수 형태 - 음함수의 미분법
예)$y=x^x(x>0)$
$lny = xlnx \Leftrightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = lnx + 1 \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = x^x\left(lnx + 1\right)$
8. 함수의 극대 극소
극대: 어떤 열린 구간에서 함숫값이 항상 크거나 같다.
극소: 어떤 열린 구간에서 함숫값이 항상 작거나 같다.
도함수의 부호 변화를 이용해 극대/극소를 찾을 수 있다.
극값을 가지면 도함수의 함숫값은 0이다.(역은 성립하지 않음)
증감표 그리기
예) $y=xe^x$ 증감표 그리기
| $x$ | .... | -2 | .... | -1 | ... |
| $f'(x)$ | - | - | - | 0 | + |
| $f''(x)$ | - | 0 | + | + | + |
| $f(x)$ | $\searrow$ | $- \frac{2}{e^2}$ | $\searrow$ | $- \frac{1}{e}$ | $\nearrow$ |
Exponential 18 장보민 19 탁예준
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