매개변수 변환법
- 2계 선형 미분방정식
이때, $g(t)=0$ 이면 제차, 아닌 경우를 비제차로 분류한다.
- 2계 선형 미분방정식의 풀이
1) 서로 다른 실근이 2개 또는 서로 다른 허근이 2개인 경우
- $ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ ($D>0 , or D<0$)
$\text{특성방정식 } \lambda^2 + a\lambda + b = 0 \text{ 에서}$
- $(a^2 - 4b > 0)이면 서로 다른 두 실근 \ (\lambda_1, \lambda_2)[ \Rightarrow \text{ 일반해: } y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$
- $(a^2 - 4b = 0) 이라면 실근인 중근 (\lambda = -\frac{a}{2})[ \Rightarrow \text{ 일반해: } y = (c_1 + c_2 x) e^{-\frac{ax}{2}} ]$
- $(a^2 - 4b < 0) 이라면 공액복소근 (\lambda = -\frac{a}{2} \pm i\omega) [ \Rightarrow \text{ 일반해: } y = e^{-\frac{ax}{2}} (A \cos \omega x + B \sin \omega x) ]$
2) 중근
- Reduction of order 사용
$x(t) = c_1e^{2t} + c_2te^{2t}$
- 예제 풀이
#1) $\frac{d^2 x}{dt^2} -4\frac{dx}{dt} + 3x(t) = 0$
- 새로운 방법
함수 선형 독립
1. 론스키안(Wronskian)
\begin{vmatrix}
f_1(x)& f_2(x)& \cdots & f_n(x)\\
f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\
f_1^{n-1})(x) & f_2^{n-1})(x) & \cdots & f_n^{n-1})(x) \\
\end{vmatrix}$
- Wronskian과 선형 독립 판별
$c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+ ... + c_nf_n(x)=0$
$c_1f^\prime_1(x)+ c_2f^\prime_2+$\cdots $+ c_nf^\prime_n(x)=0$
...
$c_1f^(n-1)_1(x)+c_2f^(n-1)_2(x)+ ... + c_nf^(n-1)_n(x)=0$
- W가 0이 아닐 때 함수 집합이 선형독립적이라고 한다.
- Pf) W=0이 아니라고 가정한다.(귀류법) → 선형적 dependent
$\begin{pmatrix}
f_1(x)& f_2(x)& \cdots & f_n(x)\\
f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\
f_1^{n-1})(x) & f_2^{n-1})(x) & \cdots & f_n^{n-1})(x) \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2\\
\cdots\\
c_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\cdots \\
0
\end{pmatrix}$
좌변의 왼쪽에 있는 행렬은 역행렬을 가진다는 의미가 되고, $c_i (i=1,2,...,n)$의 유일한 해는 영벡터이다.
→ Definition 1에 의해 모순이 발생한다.
2. 크래머의 방법(Crammer's rule)
$Ax=b\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a_{11}\cdots& a_{1i}\cdots&a_{1n} \\a_{21}&\cdots a_{2i}\cdots& a_{2n}\\a_{n1}\cdots a_{ni} \cdots a_nn \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2\\\cdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1 \\b_2\\\cdots\\b_n\end{bmatrix}$
$x_i=\frac{det(A_i^{rep})}{det(A)} =\frac{\begin{bmatrix}a_{11}\cdots& b_{1}\cdots&a_{1n} \\a_{21}&\cdots b_{2}\cdots& a_{2n}\\a_{n1}\cdots b_{n} \cdots a_nn \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\cdots& a_{1i}\cdots&a_{1n} \\a_{21}&\cdots a_{2i}\cdots& a_{2n}\\a_{n1}\cdots a_{ni} \cdots a_nn \end{bmatrix}}$
크래머의 방법에 따르면, 각 미지수 \( x_i \)는 다음과 같이 행렬식으로 구할 수 있다.
$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
여기서 $A$는 계수 행렬이고, $A_i$는$A$에서 $i$번째 열을 상수 벡터 $\mathbf{b}$로 대체한 행렬이다.
임의의 $n*n$ 행렬 $A$와 $n*1$의 벡터 $b$가 존재할때
$x = [x_1,x_2,...,x_n]^T$라고 할 때, $Ax = b$
$x$의 각 원소는 $x_i = frac {det(A_i^{rep}}{det(A)}$로 정해진다.
$A_i^{rep}$는 행렬 $A$의 $i$번째 열을 $b$벡터로 치환한 행렬이다.
- 미정 계수법
$x''-4x'+3x=t$
$x_p(t)=At+B$
매개변수 치환법
미정계수법은 $sin$, $cos$함수, 지수함수 등으로 제한되어있지만 매개변수는 그렇지 않다.
$x''+p(t)x'+q(t)x = r(t)$
$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$ → $x(t) = c_1x_1(t) + c_2x_2(t) + x_p(t)$
$(x_p(t) = u(t)x_1(t) + v(t)x_2(t) (\because Reduction of Order)$
$x_p = ux_1 + vx_2$ 을 미분하면,
$x'_p = u'x_1 + ux'_1 + v'x_2 + vx'_2$ 이 된다.
$u'x_1 + v'x_2 = 0$ 으로 가정하면,
$x''_p = u'x'_1 + ux''_1 + v'x'_2 + vx''_2$ 을 다시 미분하면,
$x''_p + p(t)x'_p + q(t)x_q = r(t)$ 에 대입하면,
${u'x'_1 + ux''_1 + v'x'_2 + vx''_2} + p(t){(ux'_1 + ux'_2)} + q(t)(ux_1 + vx_2) = r(t)$
→ $u{x''_1 + p(t)x'_1 + q(T)x_1} + u{x''_2 + p(t)x'_2 + q(t)x_2} + u'x'_1 + v'x'_2 = r(t)$
≫ $u'x'_1 + v'x'_2 = r(t)$
$\begin{cases} u'x_1+v'x_2= 0\\u'x'_1+v'x'_2= r(t)\end{cases}$
을 행렬로 표현하면,
$\begin{bmatrix}x_1& x_2 \\x_3 & x_4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u'\\v'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\r(t) \end{bmatrix}$
$u'=\frac{det(\begin{bmatrix}0 & x_2 \\r(t) & x'_2 \end{bmatrix})}{det(\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\x'_1 & x'_2\end{bmatrix}}$
$v'=\frac{det(\begin{bmatrix}x_1&0\\x'_1 & r(t) \end{bmatrix})}{det(\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\x'_1 & x'_2\end{bmatrix}}$
$u'=\frac{-x_2r(t)}{W(x_1,x_2)}, v'=\frac{x_1r(t)}{W(x_1,x_2)}$
$u'=\int_{}^{} \frac{-x_2r(t)}{W(x_1,x_2)}dt$, $v'=\int_{}^{} \frac{x_1r(t)}{W(x_1,x_2)}dt$
→ $x_p(t) = -x_1\int_{}^{} \frac{x_2r(t)}{W(x_1,x_2)}dt +x_2\int_{}^{} \frac{x_1r(t)}{W(x_1,x_2)}dt$
- 예제
Q. $2x'' + 18x = {6tan(3t)}''$
Sol)
양변을 2로 나누면, $\Rightarrow x''+9x=6tan(3t)$이다.
2계 선형미분방정식의 해법을 이용하여, $x_h(t)=c_1cost(3t)+c_2sin(3t)$임을 알 수 있다.
따라서 $x_1(t)=cost(3t)$이고, $x_2(t)=sin(3t)$이다.
$x_1$과 $x_2$와 Wronskian을 계산하여 도출하면, $W(x_1,x_2)=det(\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 \\
x'_1 &x'_2 \\
\end{bmatrix})
= det(\begin{bmatrix}
cos(3t) & sin(3t) \\-3sin(3t)& 3cos(3t) \\
\end{bmatrix} = 3cos^2(3t)+3sin^2(3t)=3$
$x_p(t)=-cos(3t)\int \frac{3sin(3t)tan(3t)}{3}dt + sin(3t)\int \frac{3cos(3t)tan(3t)}{3}dt$
여기서 $tan(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$ 임을 이용하자
$\Rightarrow -cos(3t)\int \frac{sin^2(3t)}{cos(3t)}+sin(3t)\int sin(3t)dt
=-cos(3t)\int \frac{1-cos^2(3t)}{cos(3t)}+sin(3t)(-\frac{1}{3}cos(3t)
= -cos(3t)\int sec(3t)-cos(3t)dt +sin(3t)(-\frac{1}{3}cos(3t))
= -cos(3t(\int sec(3t)-\int cos(3t)dt)+sin(3t)(-\frac{1}{3}cos(3t))$
$\Rightarrow -cos(3t)(\frac{1}{3}ln\left|sec(3t)+tan(3t)\right|)+cos(3t)(\frac{1}{3}sin(3t))+sin(3t)(-\frac{1}{3})cos(3t))$
여기서 뒤의 두 개 항은 부호만 반대이고 값은 같은 것이므로,
$\Rightarrow -cos(3t)(\frac{1}{3}ln\left|sec(3t)+tan(3t)\right|) $
= $-\frac{cos(3t)}{3}ln\left| sec(3t)+tan(3t)\right|$ 의 특성해를 구할 수 있다.
따라서 일반해는 $x(t)=c_1cos(3t)+c_2sin(3t)-\frac{cos(3t)}{3}ln\left|sec(3t)+tan(3t) \right|$이 된다.
Exponential 18기 김경훈 & 19기 서승원
댓글