분류 전체보기69 오일러 공식 오일러 공식 오일러 공식이란 $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$을 말합니다. 이 식은 삼각함수와 지수함수의 정의역을 복소수까지 확장하거나 복소평면 등에 사용되는 중요한 공식입니다. 오일러 공식의 3가지 증명을 알아봅시다. 증명 1 미분방정식 $z=\cos\theta+i\sin\theta$라 하자. 이를 미분하면 $$\begin{eqnarray} \dfrac{dz}{d\theta} && =-\sin\theta+i\cos\theta \\ && =i(\cos\theta+i\sin\theta) \\ && =iz \end{eqnarray}$$ 이다. 따라서 $$\dfrac{1}{z}dz=id\theta$$을 얻는다. 이를 적분하면$$\ln|z|=i\theta+C$$이다. (단, .. 2022. 7. 22. 점화식의 일반항 1. $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$ 2. $a_{n+1}=a_{n}f(n)$ 3. $a_{n+1}=pa_{n}+q$ 4. $pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=0$ 5. $a_{n+1}=\dfrac{ra_n}{pa_n+q}$ 6. $a_{n+1}=\dfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$ 6가지 유형의 점화식의 일반항을 구해보자. 1. $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$ 주어진 점화식의 조건을 이용하면 다음 $n-1$개의 식을 얻을 수 있다. $$\begin{aligned} a_n & =a_{n-1}+f(n-1) \\ a_{n-1} & =a_{n-2}+f(n-2) \\ & \ \ \vdots \\ a_2 & =a_1+f(1)\end{aligned}$$ 위의 식들을 모두 더하면 일반항을 .. 2022. 7. 21. 1986 IMO 3번 : 불변성의 원리 1986년에 치루어진 제 27회 IMO에서 최고의 변별력을 가진 문제는 3번 문제였습니다. 풀이에 이용되는 핵심 아이디어인 불변성의 원리를 알아봅시다. 불변성의 원리란 문제 해결과정에서 여전히 변하지 않고 그대로 남는 것을 관찰하는 원리입니다. 즉, 불변량을 관찰하는 문제 해결 전략이죠. 예제들을 해결하며 더 자세히 알아봅시다. Question 1. 홀수 $n$에 대하여 칠판에 $1$, $2$, $\cdots$, $2n$의 자연수가 적혀있다. 칠판의 적혀있는 임의의 두 자연수 $a$, $ b$에 대하여 두 자연수를 지우고 $\left\vert a-b \right\vert$를 적는다. 이 과정을 반복하여 맨 마지막에 남는 수가 홀수임을 증명하여라. sol) $a+b$와 $\left\vert a-b \rig.. 2022. 7. 21. 이전 1 ··· 9 10 11 12 다음